Rasyonel sayılar konusunu anlaşılır ve adım adım anlatayım.
1) Tanım ve temel özellik
- Bir sayı, iki tam sayının (pay ve payda) birbirine bölümü şeklinde yazılabiliyorsa rasyoneldir. Yani p/q biçiminde (q ≠ 0) yazılabilen tüm sayılar rasyoneldir.
- Tüm tam sayılar rasyoneldir çünkü örneğin 5 = 5/1, -3 = -3/1 şeklinde yazılabilir.
Örnek:
Örnek: 2/3, -7/4, 0 (0 = 0/1), 5 (5 = 5/1) hepsi rasyonel sayılardır.
2) Ondalık gösterimleri
- Rasyonel sayıların ondalık gösterimi ya sonlu (terminating) ya da periyodik (kayan, tekrarlayan) bir desene sahiptir.
- Örneğin 1/4 = 0.25 (sonlu), 1/3 = 0.333... = 0.(3) (periyodik).
Örnek:
Örnek: 2/5 = 0.4 (sonlu). 7/11 = 0.6363... = 0.(63) (periyodik).
İpucu:
Bir kesri ondalığa çevirirken bölme işlemi yap; kalanlar tekrarlamaya başlarsa periyodik olduğunu anlarsın.
3) Kesiri sadeleştirme ve eşdeğer kesirler
- Bir kesirde pay ve paydayı aynı sayı ile bölerek daha küçük eşdeğer bir kesir elde edebilirsin. Buna sadeleştirme denir.
- Eşdeğer kesir: 1/2 = 2/4 = 3/6 gibi aynı değeri veren farklı kesirler.
Örnek:
Örnek: 8/12 = (hemini 4'e böl) = 2/3.
Yaygın Hata:
Bazı öğrenciler yalnızca payı sadeleştirir veya payda ile farklı sayılar böler; sadeleştirme için hem payı hem paydayı aynı pozitif sayıya bölmelisin.
4) Kesirleri toplama ve çıkarma
- Kesirlerin paydaları aynıysa doğrudan paylar toplanır/çıkarılır, payda aynı kalır.
- Paydalar farklıysa ortak payda (genellikle en küçük ortak payda — EBOB/EKOK kullanılarak bulunur) bulunur, sonra eşdeğer kesirlere çevirip topla/çıkar.
Örnek:
Örnek: 1/4 + 1/6. Ortak payda 12: 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12 → 3/12 + 2/12 = 5/12.
İpucu:
İşlemi yapmadan önce hemen sadeleştirme yapabilirsin; bu işlemi kolaylaştırır ve hata yapma riskini azaltır.
5) Çarpma ve bölme
- Çarpma: Kesirleri çarparken payları çarp, paydaları çarp. Sonra sadeleştir.
- Bölme: Bir kesri başka bir kesre bölerken, ikinci kesri ters çevirip çarp (yani bölme = çarpma ile ters çevrilmiş kesir).
Örnek:
Örnek: (2/3) × (3/4) = 6/12 = 1/2. (5/6) ÷ (2/3) = (5/6) × (3/2) = 15/12 = 5/4.
Yaygın Hata:
Bölme yaparken pay ve payda yer değiştirdiğinde işaret unutulmaz; bölünen ve bölenin işaretlerine dikkat et. Ayrıca çarpmadan önce mümkünse sadeleştir.
6) Negatif rasyonel sayılar ve işaret kuralları
- Negatif sayıların işareti payda veya payda taşınabilir: -a/b = a/(-b) = -(a/b).
- İşaret kuralları aynıdır: negatif × negatif = pozitif, negatif × pozitif = negatif, vb.
Örnek:
Örnek: (-2/5) × (-3/4) = 6/20 = 3/10 (pozitif).
7) Sıralama ve mutlak değer
- Rasyonel sayıları sıralarken aynı paydada gibi düşün, payı büyük olan daha büyüktür (pozitifler için). Negatiflerde tersine düşün: -1/2 < -1/3 çünkü -0.5 < -0.333...
- Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır: | -3/4 | = 3/4.
İpucu:
Farklı paydaları karşılaştırırken paydaları eşitlemek yerine kesiri ondalığa çevirip karşılaştırmak da hızlı bir yöntem olabilir.
8) Rasyonel ve irrasyonel sayı farkı (kısa)
- Rasyonel sayılar p/q şeklinde yazılabilen sayılardır. İrrasyonel sayılar (ör. √2, π) böyle yazılamaz ve ondalık gösterimleri ne sonlu ne periyodik bir desendir.
Yaygın Hata:
Öğrenciler π veya √2 gibi sayıların kesir şeklinde yazılabileceğini düşünür; bunlar irrasyoneldir, yani rasyonel değildir.
Uygulamada sık karşılaşılan örnekler, kısa hatırlatmalar:
- Bir sayının rasyonel olup olmadığını anlamak için onu kesir biçiminde yazmayı dene.
- Hesap yaparken önce sadeleştirme, ortak payda veya ters çevirme adımlarını düşün; bu hata yapmayı azaltır.
İpucu:
Kesir işlemlerinde işareti ve paydanın sıfır olup olmadığını her zaman kontrol et. Payda 0 olamaz.
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- Kesirleri çarparken ve bölerken sadeleştirme nasıl hızlı yapılır?
- Ondalık ve kesir biçimleri arasında çevirme örnekleriyle daha fazla pratik yapmanın yolu nedir?