Hap Bilgi Oturumu

Merhaba, bana Matematik ile ilgili ne sormak istersin?

8. sınıf düzeyinde en sık çıkan ve sınavlarda karşına çıkan irrasyonel (rasyonel olmayan) kökler genelde karekök içinde kalanı tam kare olmayan küçük sayılardır. En çok karşılaşılanlar:

- √2, √3, √5 (en yaygın olanlar)
- √6, √7, √10 (iki küçük asalın çarpımı veya küçük sayıların kombinasyonları)
- Ayrıca √8, √12, √18 gibi ifadeler sık çıkar ama bunlar sadeleştirilebilir (örn. √8 = 2√2, √12 = 2√3, √18 = 3√2).
- Nadiren küpkök olarak ∛2, ∛3 gibi irrasyonellerle de karşılaşabilirsin.



Bu tür sorularda işin genelde şu işlerdir: kökü sadeleştirmek, benzer kökleri toplamak/çıkarmak (ör. 3√2 + 2√2 = 5√2), paydada kök varsa rasyonelleştirmek.





Rasyonelleştirme örneği:




Özetle en çok çıkanlar: √2, √3, √5 ve bunlardan türeyen sadeleşmiş hâller (ör. 2√2, 3√2 vb.) ile paydada kökleri yok etme sorularıdır.

“Kök 108 gibi büyük olanlar hangileri?” dediğinde genelde iki şey soruluyor: 1) Büyük bir kökü nasıl sadeleştiririm, 2) iki veya daha fazla kökü nasıl karşılaştırırım (hangisi daha büyük?). Her ikisini de basit ve anlaşılır şekilde anlatalım.

1) Kökü sadeleştirme (√108 örneği)
- Amaç: içindeki sayıyı tam kare çarpanlarına ayırmak.
- 108 = 36 · 3 ve 36 tam karedir (6^2). O halde:
√108 = √(36·3) = √36 · √3 = 6√3.




2) Kökleri karşılaştırma (hangi kök daha büyük?)
- Basit kural: pozitif a ve b için √a > √b ise ve ancak a > b ise. Yani radikand (kök içindeki sayı) daha büyükse kök de daha büyüktür.
- Eğer kökler sadeleştirilmiş biçimde (ör. 6√3 ve 5√5) ise, doğrudan içlerine bakmak yanıltıcı olabilir. Bu durumda karşılaştırmak için kare alabilir veya yaklaşık ondalık değere çevirirsin.
- Kare alarak: 6√3 > 5√5 ⇔ (6√3)^2 > (5√5)^2 ⇔ 36·3 > 25·5 ⇔ 108 > 125 (yanlış), yani 6√3 < 5√5.
- Ondalıkle: 6√3 ≈ 10.392, 5√5 ≈ 11.180 → 5√5 daha büyük.




3) Hızlı yöntem özetleri
- Büyük radikandlı kökü sadeleştir: içinden en büyük tam kareyi çıkar.
- İki kökü karşılaştırma:
- Eğer direkt radikandlar verildiyse (√a ve √b), büyük radikandın kökü büyüktür.
- Eğer biçim a√c ve b√d ise karelerini alıp a^2·c ile b^2·d karşılaştır; hangisi büyükse o kök daha büyüktür.
- Alternatif: her ikisini de ondalığa çevirip karşılaştır (pratik hesap makinesi yöntemi).

Hızlı kök sadeleştirme için pratik, adım adım yöntemler ve kısa yollar:

1) İç sayıyı en büyük tam kareye (veya uygun köke) ayır
- Amaç: radikandın içinde tam kare (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...) olan en büyük çarpanı bulmak.
- Örnek: 108 = 36·3 → √108 = √36·√3 = 6√3


2) Asal çarpanlara ayırma ve eşleştirme (çok hızlı ve sağlam yöntem)
- Kare kök için: radikandın asal çarpanlarını yaz, aynı sayılardan çift olanları dışarı çıkar.
- Örnek: 72 = 2^3 · 3^2. Çiftler: 2^2 ve 3^2 dışarı; geriye 2^1 içerde ⇒ √72 = 2·3·√2 = 6√2


3) Kökün katsayılı hâllerinde de aynı şeyi yap
- a√b biçimindeyse b’yi sadeleştirip yeni katsayıyı çarp.


4) Küpkök ve n’inci köklerde grup sayısı n olacak şekilde grupla
- Örnek: ∛54 = ∛(27·2) = 3∛2 (çünkü 27 = 3^3)
- Asal faktör yöntemi: üsleri 3’lü gruplara ayır.

5) Hızlı pratik ipuçları




6) Benzer kökleri toplama/çıkarmada önce sadeleştir
- Sadece içleri aynı olan kökler toplanabilir: a√c + b√c = (a+b)√c


7) Hatalardan kaçınma




8) Pratik örnekler hızlı çözüm adımları
- √50 → √(25·2) = 5√2
- √45 → √(9·5) = 3√5
- √300 → 300 = 100·3 ⇒ √300 = 10√3
- ∛16 → ∛(8·2) = 2∛2 değil; çünkü 8 = 2^3, fakat 16 = 2^4 = 2^3·2 ⇒ ∛16 = 2∛2

Kısa özet: radikandın içindeki en büyük tam kareyi (veya n’inci kök için en büyük tam n’inci kuvveti) bul, onu dışarı çıkar. Asal çarpanlara ayırıp çiftleri/grupları dışarı çıkarmak genelde en güvenli ve hızlı yoldur.