İşte zorlayıcı bir karekök (kök içeren) denklem sorusu ve adım adım çözümü.
Soru:
Çözüm kümesini bulun (gerçek sayılar içinde):
sqrt(2x+1) + sqrt(x+3) = sqrt(6x+7)
Çözüm:
1) Önce tanım kümesini inceleyelim: içindeki her karekök için ifadelerin ≥0 olması gerekir.
- 2x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1/2
- x+3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3 (bunu zaten x ≥ -1/2 karşılar)
- 6x+7 ≥ 0 ⇒ x ≥ -7/6 (bunu da x ≥ -1/2 karşılar)
Sonuç: Denklemin geçerli olacağı x için x ≥ -1/2 şartı yeterli.
2) Denklemi karekökler düzeyinde çözelim. Her iki taraf ≥0 olduğundan karesini alabiliriz:
(sqrt(2x+1) + sqrt(x+3))^2 = (sqrt(6x+7))^2
2x+1 + x+3 + 2·sqrt((2x+1)(x+3)) = 6x+7
3x+4 + 2·sqrt((2x+1)(x+3)) = 6x+7
3) İzole edip tekrar kare alalım:
2·sqrt((2x+1)(x+3)) = 3x+3
sqrt((2x+1)(x+3)) = (3x+3)/2
Bu sağ tarafın negatif olamayacağını da not edelim; fakat tanım kümesinden x ≥ -1/2 olduğunda 3x+3 = 3(x+1) ≥ 3( -1/2 +1) = 3/2 > 0, yani sağ taraf pozitif.
4) Tekrar kare al:
(2x+1)(x+3) = ((3x+3)^2)/4
4(2x+1)(x+3) = (3x+3)^2
Şimdi açalım:
4(2x^2 + 7x + 3) = 9x^2 + 18x + 9
8x^2 + 28x + 12 = 9x^2 + 18x + 9
0 = 9x^2 + 18x + 9 - 8x^2 - 28x - 12
0 = x^2 - 10x - 3
Böylece elde edilen ikinci derece denklem:
x^2 - 10x - 3 = 0
Kökler:
x = [10 ± sqrt(100 + 12)] / 2 = [10 ± sqrt(112)] / 2 = [10 ± 4√7] / 2 = 5 ± 2√7
Yaklaşık değerleri:
x1 = 5 + 2√7 ≈ 10.291
x2 = 5 - 2√7 ≈ -0.291
5) Bulunan kökleri orijinal denkleme yerine koyup sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmeliyiz (çünkü kare alma işleminde ekstradan çözümler çıkabilir).
- x ≈ 10.291 için her taraf yaklaşık 8.293 çıkar — sağlıyor.
- x ≈ -0.291 için her taraf yaklaşık 2.293 çıkar — sağlıyor.
Ayrıca her iki değer tanım kümesine (x ≥ -1/2) uygundur (x2 ≈ -0.291 ≥ -0.5).
Sonuç:
Çözüm kümesi {5 + 2√7, 5 - 2√7}.
Örnek:
Sayısal kontrol: x = 5 - 2√7 ≈ -0.291 için
sqrt(2x+1) ≈ 0.647, sqrt(x+3) ≈ 1.646, toplam ≈ 2.293
sqrt(6x+7) ≈ 2.293 → Denklem sağlanıyor.
İpucu:
Karekök içeren denklemlerde önce tanım kümesini kontrol etmek ve sonra kare alma adımlarından sonra çıkan çözümleri orijinal denkleme yerine koyarak doğrulamak çok önemlidir.
Yaygın Hata:
Karekökleri içeren denklemi bir kez kare alıp çıkan sonuçları otomatik kabul etmek sık yapılan hatadır — kare alma extraneous (yalan) çözümler üretebilir; bu yüzden her bir kökü orijinal denklemde kontrol etmek gerekir.
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- Karekök içeren denklemleri çözerken hangi adımlar daha güvenli ve neden?
- Kök alma ve kare alma işlemlerinde ortaya çıkan yanlış kökleri nasıl daha hızlı tespit edebilirim?