Elbette — aşağıda ÖSYM sınavlarında sık kullanılan ve lise düzeyinde bilmen gereken temel tüm geometrik formülleri bir çalışma kağıdı şeklinde derledim. Her bölümde kısa açıklama, örnekler, ipuçları ve sık yapılan hatalara dikkat çeken notlar yer alıyor. Bu çalışma kağıdını sınavlarda çıkan soru türlerini hızlıca çözerken referans olarak kullanabilirsin.
Üçgenler
- Çevre: a + b + c
- Alan:
- Temel × Yükseklik / 2 : A = (b × h) / 2
- Yarı çevre (Heron): s = (a+b+c)/2, A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
- Trigonometrik: A = (1/2)ab sin C
Örnek:
Örnek: Kenarları 3,4,5 olan üçgenin alanı: s=6, A=√[6·3·2·1]=6
İpucu:
Bir üçgenin alanını bulurken yüksekliği kolayca çizemiyorsan Heron veya 1/2 ab sin C formüllerinden biri genelde işleri kolaylaştırır.
Yaygın Hata:
Heron kullanırken s (yarı çevre) hesaplanmadan alt ifadeye doğrudan uygulanması hataya yol açar. Önce s hesapla.
- Dik üçgen:
- Pisagor: a^2 + b^2 = c^2 (c hipotenüs)
- Özel üçgenler: 45°-45°-90° → kenarlar 1:1:√2; 30°-60°-90° → 1:√3:2
Örnek:
Örnek: 3-4-5 üçgeninde hipotenüs 5’tir, diğerleri 3 ve 4
- Medyan, yükseklik, açıortay ilişkileri:
- Üçgenin medyanı: orta noktaya çizilen doğru.
- Açıortay: iki kenarı oranlar: AB/AC = DB/DC (A noktasında açıortay ise)
İpucu:
Açıortay teoremi sınav sorularında kenar oranı hesaplamak için çok kullanışlıdır.
Çember ve Daire
- Çevre (çember uzunluğu): C = 2πr = πd
- Alan: A = πr^2
- Yay uzunluğu: L = θ r (θ radyan cinsinden); L = (α/360)·2πr (α derece)
- Sektör alanı: As = (1/2) r^2 θ = (α/360)·πr^2
- Kiriş-teğet ilişkileri:
- Bir noktadan çembere çizilen teğetin çember ile tek ortak noktası vardır ve o noktada yarıçapa diktir.
- Güç (Power of a point): dışarıdaki bir noktadan iki sekant: PA·PB = PC·PD ; teğet ise (PT)^2 = PA·PB
Örnek:
Örnek: Yarıçapı 3 cm olan dairenin alanı A = 9π cm^2, çevresi C = 6π cm
Yaygın Hata:
Yay uzunluğu hesaplanırken derece/radyan dönüşümü unutulursa yanlış sonuç çıkar. α° için L = (α/360)·2πr kullanılmalı.
Dörtgenler ve Özel Dörtgenler
- Paralelkenar:
- Alan: A = taban × yükseklik (A = b × h)
- Karşılıklı kenarlar eşit ve paralel
- Dikdörtgen:
- Alan: A = a × b
- Köşegen uzunluğu: d = √(a^2 + b^2)
- Kare:
- Alan: A = a^2
- Çevre: P = 4a
- Köşegen: d = a√2
- Eşkenar dörtgen (romb):
- Alan: A = (d1 × d2)/2 (köşegenlerin çarpısının yarısı)
- Ayrıca A = a × h
- Yamuk:
- Alan: A = ( (b1 + b2) / 2 ) × h
Örnek:
Örnek: Bir rombun köşegenleri 6 ve 8 ise alan = (6·8)/2 = 24
İpucu:
Rombun alanı köşegenlerden kolay hesaplanır; özel sorularda dik kestiğini kontrol et.
Düzgün Çokgenler
- İç açı toplamı: (n-2)·180°
- Bir iç açının ölçüsü (düzgün): ((n-2)·180°)/n
- Köşegen sayısı: n(n-3)/2
- Düzgün çokgen alanı: A = (1/2)·a·P = (1/4)·n·a^2·cot(π/n) (gerektiğinde kullan)
İpucu:
n çok büyük değilse iç açı toplamı ile tek tek açıyı hızlıca bulabilirsin.
Koordinat Geometrisi (Düzlem)
- İki nokta arasındaki uzaklık: d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
- Orta nokta: M = ( (x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 )
- Doğrunun eğimi: m = (y2-y1)/(x2-x1) (x2 ≠ x1)
- Doğru denklemleri:
- Eğimi bilinen doğruda: y - y1 = m(x - x1)
- Genel: Ax + By + C = 0
- Alan (koordinat yöntemi, shoelace formülü) üçgen için: A = (1/2)|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|
Örnek:
Örnek: (1,2) ve (4,6) noktalarının uzaklığı √[(3)^2+(4)^2]=5
Yaygın Hata:
Eğim hesaplanırken sıralamaya dikkat edilmezse işaret hatası olur. Her iki fark aynı sırada alınmalı.
Trigonometri ve Açılar
- Sinüs Teoremi: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (R çemberin yarıçapı)
- Kosinüs Teoremi: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C
- Bir üçgenin alanı trigonometrik formülle: A = (1/2)ab sin C
Örnek:
Örnek: Bilinmeyen kenarı bulmak için kosinüs teoremi sık kullanılır; iki kenar ve aradaki açı verilmişse c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C
İpucu:
Soruya göre hangisi kolay uygulanıyorsa önce Sinüs veya Kosinüs teoremini seç; sin kuralı açıya bağlı oran verir, kosinüs kenar-kare ilişkisi verir.
Çokgen Alanı ve İç-Dış İlişkileri
- Poligonun iç açı toplamı (n-2)·180° (önemli sınav bilgisi)
- Düzgün poligonlarda merkez açısı: 360°/n
Katı Cisimler (3D)
- Prizma:
- Hacim: V = taban alanı × yükseklik
- Yüzey alanı: lateral alan + 2·taban alan
- Silindir:
- Hacim: V = πr^2 h
- Açık/yüzey alanı: SA = 2πr^2 + 2πr h (tam yüzey)
- Piramit:
- Hacim: V = (1/3)·taban alan·yükseklik
- Yüzey alanı: taban alan + yan yüzey alanı (yan yüz üçgenlerinin toplamı)
- Konik:
- Hacim: V = (1/3)πr^2 h
- Yüzey alanı: SA = πr^2 + πr s (s eğik yükseklik)
- Küre:
- Hacim: V = (4/3)πr^3
- Yüzey alanı: SA = 4πr^2
Örnek:
Örnek: Yarıçap 2, yükseklik 5 olan silindirin hacmi V = π·4·5 = 20π
Yaygın Hata:
Koninin yan yüzey alanında s (eğik yükseklik) ile h (düşey yükseklik) karıştırılır; s = √(r^2 + h^2).
Dönüşüm ve Benzerlik
- Benzerlik oranları: benzer şekillerde uzunluklar ölçeklenir: k; alanlar k^2; hacimler k^3
- Üçgen benzerliği: AA, SAS, SSS kriterleri
İpucu:
Benzerlik sorularında oranları kök içine alarak alan veya hacim ilişkilerini hızlıca bulabilirsin.
Diğer Faydalı Formüller / Kısa Notlar
- Açı toplamı/çevre ilişkileri, iç- dış açılar arası: dış açı = iç iki uzak açı toplamı gibi sık çıkan ipuçları
- Dik projeksiyon ve yükseklik soruları için benzer üçgenleri hatırla (özellikle hipotenüs üzerindeki yükseklik teoremi)
- Polinom/geometrik sayı problemlerinde sıkça kullanılan: alanların farkı, benzerlik oranı, çevre farkı gibi dönüşümler
Örnek:
Örnek: İki benzer üçgenin benzerlik oranı 2 ise alan oranı 4, hacim oranı 8’dir.
Çözüm Stratejileri ve Sınav İpuçları
- Soruyu okurken hangi formüllerin doğrudan uygulanabileceğini belirle: alan mı, çevre mi, hacim mi, yoksa trigonometrik bir ilişki mi lazım.
- Şekil çizimini net yap; özellikle yükseklikleri, tabanları ve açıortayları göster.
İpucu:
Zamana karşı yarışırken önce soruda verilenleri ve isteneni çizip hangi formül gerektiğine hızlı karar ver.
Yaygın Hata:
Çizim yapılmadan soyut işlem yapmak. Çoğu geometri sorusu görselin doğru çizilmesiyle kolaylaşır.
Kısa Referans (Hızlı Bakış)
- Üçgen alanı: (b·h)/2 ; Heron ; (1/2)ab sin C
- Çember: C = 2πr, A = πr^2
- Dik üçgen: a^2 + b^2 = c^2
- Silindir: V = πr^2 h ; SA = 2πr^2 + 2πr h
- Konik: V = (1/3)πr^2 h ; Küre V = (4/3)πr^3 ; SA = 4πr^2
Bu çalışma kağıdı ÖSYM tarzı çoğu geometrik soruyu çözmek için gereken formülleri kapsar. İstersen bu formüllerin yer aldığı kısa bir PDF veya tek sayfa özet çıkarmana yardımcı olabilirim (ama ben belge oluşturamıyorum; metni kopyalayarak kolayca düzenleyebilirsin).
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- Hangi formüller üçgen tabanlı hacim sorularında en sık kullanılır?
- Koordinat düzleminde verilen üç noktanın alanını en hızlı nasıl bulurum?