Ortak bölen nedir?
Ortak bölen, iki veya daha fazla sayıyı tam bölene (kalan sıfır olan) pozitif tam sayı demektir. Örneğin 12 ve 18 sayılarının ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6’dır. En büyük ortak bölen (EBOB veya GCD), bu ortak bölenlerin en büyüğüdür — yukarıdaki örnekte EBOB = 6.
Nasıl bulunur? (Üç kolay yöntem)
1) Bölenleri listeleyerek
- Her sayının tüm pozitif bölenlerini yazarsın ve ortak olanları bulursun.
Örnek:
Örnek: 12’nin bölenleri = 1,2,3,4,6,12; 18’in bölenleri = 1,2,3,6,9,18. Ortak olanlar = 1,2,3,6 → EBOB = 6.
2) Asal çarpanlara ayırma yöntemi
- Her sayıyı asal çarpanlarına ayır, ortak olan asal çarpanları en küçük üsleriyle çarp.
Örnek:
Örnek: 48 = 2^4 × 3, 18 = 2 × 3^2. Ortak asal çarpanlar: 2^(min(4,1)) × 3^(min(1,2)) = 2^1 × 3^1 = 6.
İpucu:
Bu yöntem büyük sayılar için listelemeye göre çok daha hızlıdır.
3) Öklid algoritması (büyük sayılar için en hızlı yöntem)
- Büyük sayılarda aralarında bölme ve kalan alma işlemiyle EBOB bulunur: gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) adımlarını tekrarlayıp kalan sıfır olunca bir önceki kalan EBOB’tur.
Örnek:
Örnek: gcd(48,18):
48 = 18×2 + 12
18 = 12×1 + 6
12 = 6×2 + 0 → EBOB = 6.
İpucu:
Bilgisayarda veya sınavda çok işe yarar; kağıtta da hızlıdır.
Önemli noktalar ve yaygın hatalar
- 1 her zaman ortak bölen olarak vardır (tüm pozitif tam sayıları böler).
- Ortak bölenler ile ortak katları karıştırma: ortak bölenler sayıları bölen küçük sayılardır; ortak katlar ise her iki sayının bölündüğü daha büyük sayılardır.
Yaygın Hata:
Öğrencilerin sıkça yaptığı hata: ortak bölenleri ararken aslında ortak katları (örneğin 36, 72 gibi) listelemektir — önce bölen mi yoksa kat mı aradığını netleştir.
- Eksi sayılar için genelde pozitif EBOB alınır (ör. gcd(-12,18) = 6).
Kısa yol kararları
- Sayılar küçükse: bölenleri listele.
- Orta büyüklükte sayılar veya faktörlerini kolayca bulabiliyorsan: asal çarpanlara ayır.
- Çok büyük sayılar veya sınav/pratik hız istiyorsan: Öklid algoritmasını kullan.
Sonuç olarak: ortak bölenler, iki sayıyı aynı anda bölen sayılardır; en büyüğü EBOB olarak adlandırılır ve çeşitli yöntemlerle bulunabilir.
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- EBOB ile EKOK arasındaki fark nedir ve nasıl ilişkilidir?
- Öklid algoritmasını kullanarak 270 ile 192 sayılarının EBOB’unu nasıl bulurum?