Bu soruda "kendisinden başka en büyük çarpan" ifadesi, sayının kendisi hariç en büyük bölenini (en büyük proper divisor) kastetmektedir. Kolay bir kural var: Bir sayının kendisi dışındaki en büyük çarpanı, o sayının "en küçük asal çarpanına" eşittir n bölü (en küçük asal çarpanı). Yani en büyük proper çarpan = n / (sayının en küçük asal çarpanı). Çünkü çarpanlar çiftler hâlinde gelir; en büyük proper çarpan, eşleştirildiği en küçük (>1) çarpana karşılık gelir.
Önce örnekle kuralı gösterelim:
Örnek:
Örneğin 18 için en küçük asal çarpan 2'dir. 18/2 = 9, bu da 18'in kendisi hariç en büyük çarpanıdır (18'in çarpanları: 1,2,3,6,9,18).
1) En büyük proper çarpanı 10 olan sayı:
n / (en küçük asal çarpan) = 10 ⇒ n = 10 · p (p en küçük asal çarpan)
10 = 2·5 olduğundan, n = 10·p içinde mutlaka 2 ve 5 asal çarpanları vardır. p sayının en küçük asal çarpanı olmalı; bu ancak p = 2 olursa sağlanır (p = 5 olursa en küçük asal çarpan 2 olur, p>5 olursa 2 yine daha küçüktür). Dolayısıyla n = 10·2 = 20.
Örnek:
20'nin çarpanları: 1,2,4,5,10,20 → kendisi hariç en büyüğü 10'dur.
2) En büyük proper çarpanı 15 olan sayı:
n / (en küçük asal çarpan) = 15 ⇒ n = 15 · p
15 = 3·5 olduğundan n = 15·p içinde 3 ve 5 vardır. p, sayının en küçük asal çarpanı olmalı; bu durumda p ≤ 3 olmalıdır. Olası p değerleri 2 veya 3'tür.
- p = 2 ⇒ n = 30. 30'un çarpanları: 1,2,3,5,6,10,15,30 → en büyük proper çarpan 15.
- p = 3 ⇒ n = 45. 45'in çarpanları: 1,3,5,9,15,45 → en büyük proper çarpan 15.
Yani burada iki çözüm var: 30 ve 45.
Örnek:
30 ve 45 her ikisi de kendisi hariç en büyük çarpanı 15 yapar.
İpucu:
Hızlı yöntem: "En büyük proper çarpan = n / (en küçük asal çarpan)". Bu formülü aklınızda tutmak işinizi kolaylaştırır.
Yaygın Hata:
Genellikle hata: sadece verilen sayıyı kendisiyle çarpmak veya verilen sayının asal çarpanlarını göz ardı etmek. Unutmayın, verilen çarpanın içinde daha küçük bir asal çarpan varsa o, sayının en küçük asal çarpanı olur ve çözümü etkiler.
Cevaplar:
- En büyük proper çarpanı 10 olan sayı: 20
- En büyük proper çarpanı 15 olan sayılar: 30 ve 45
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- En büyük proper çarpanı 12 olan sayıyı aynı yöntemle nasıl bulurum?
- Bir sayının en küçük asal çarpanını bilerek o sayının tüm olası değerlerini nasıl bulurum?