Hap Bilgi Oturumu

Tabii — sayılar ve “bileşik sayılar” konusunu hem temel hem biraz daha derin olacak şekilde anlatayım.

1) Sayılarla ilgili temel sınıflar
- Doğal sayılar (N): Genelde 0, 1, 2, 3, ... şeklinde alınır. (Bazı kitaplarda 0 yerine 1 ile başlar.)
- Tam sayılar (Z): Negatif ve pozitif doğal sayılar ile sıfır: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...
- Rasyonel sayılar (Q): Birbirini bölen iki tamsayı şeklinde yazılabilen sayılar: 1/2, -3/4, 5 (5 = 5/1) gibi.
- İrrasyonel sayılar: Kesir şeklinde yazılamayan, ondalık yazımı sonsuza kadar devam eden ve dönemli olmayan sayılar: π, √2 gibi.
- Reel sayılar (R): Rasyonel + irrasyonel sayılar. (Sayı doğrusu üzerindeki tüm sayılar.)



2) Asal ve bileşik sayılar — temel tanımlar
- Asal sayı: 1 ve kendisi dışında pozitif bir böleni olmayan, pozitif tam sayıdır. Örnek: 2, 3, 5, 7, 11...
- Bileşik sayı: Pozitif tam sayılardan, 1 ve kendisi dışında en az bir pozitif böleni olanlardır. Yani asal olmayan >1 sayılar bileşiktir. Örnek: 4 (2×2), 6 (2×3), 12 (2×2×3).
- Özel durumlar: 1 ne asal ne bileşiktir. 0 için asal/bileşik kavramları anlamlı değildir.



3) Bileşikliği test etme ve asal çarpanlara ayırma
- En basit yol: 2’den başlayıp sayının kareköküne kadar olan pozitif tamsayılarla bölünüp bölünmediğine bakmaktır. Eğer hiçbiri tam bölemiyorsa sayı asaldır.
- Neden karekök? Çünkü eğer a×b = n ise en az biri √n’den küçük ya da eşittir. Bu yüzden tüm faktörlere bakmak yerine √n’ye kadar bakmak yeterlidir.
- Asal çarpanlara ayırma: Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, onu asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaktır. Örneğin 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2^2 × 3 × 7.



4) Hızlı kurallar — bazı bölünebilme testleri
- 2: son rakamı 0,2,4,6,8 ise
- 3: rakamların toplamı 3’ün katı ise
- 5: son rakam 0 veya 5 ise
- 9: rakamların toplamı 9’un katı ise
- 10: son rakam 0 ise



5) Asal sayıları bulma yöntemi — Eratosthenes eleği
Küçük sayılar için etkilidir: 2’den başlayıp her asal sayının katlarını işaretleyerek (elemek) geriye kalanlar asaldır. Örneğin 2’nin, 3’ün, 5’in katlarını ele, kalanlar 2,3,5,7,11... olur.



6) Neden öğreniyoruz? Ve nerede kullanılır?
- Bölme, çarpma, faktörler günlük işlemlerde (paylaştırma, en küçük ortak kat ve en büyük ortak bölen) işe yarar.
- Şifreleme (örneğin bilgisayar güvenliği) büyük asal sayılar ve asal çarpanlara dayalıdır.
- Matematikte birçok problem asal/bileşik sayı bilgisi gerektirir (denklem çözme, sayı teorisi vb.).



7) Özet ve dikkat edilmesi gereken noktalar
- Bileşik sayı: 1’den büyük ve 1 ile kendisi dışında böleni olan sayıdır.
- 1 özel: ne asal ne bileşik.
- Bileşiği test ederken karekök sınırına kadar denemek yeterlidir.
- Küçük bölünebilme kurallarını kullanmak işleri hızlandırır.



İstersen birkaç örnek üzerinden birlikte uygulamalı gösteririm veya özel bir sayı için asal/bileşik kontrolü yaparım.

Anladım — konuştuğunuz “sayılar ve kategorikler” istatistikteki değişken türleri (numerical ve categorical) konusuna benziyor. Bunu K-12 seviyesinde açıklayayım.

Sayılar (Sayısal değişkenler)
- Sayısal değişkenler sayılarla ifade edilir ve ölçülebilir. İki ana türü vardır:
- Kesikli (discrete): Sadece tam sayı değerler alır. Örnek: bir ailenin çocuk sayısı (0,1,2,...).
- Sürekli (continuous): Arada herhangi bir değeri alabilir (kesirli/ondalık da olabilir). Örnek: boy, kilo, sıcaklık.
- Sayısal veriyi özetlemek için ortalama, medyan, mod, aralık, standart sapma gibi ölçüler kullanılır; görselleştirme için histogram, kutu grafiği (boxplot) veya çizgi grafiği uygundur.



Kategorikler (Kategorik değişkenler)
- Kategorik değişkenler sınıflara/etiketlere ayrılır; sayı olarak hesaplanmazlar (genelde sınıf sayılarıyla özetlenir).
- Nominal: Sıralaması yoktur. Örnek: saç rengi (siyah, kahverengi, sarı), tür (kedi, köpek).
- Ordinal: Bir sıralama/öncelik vardır ama aralarındaki fark sayısal değildir. Örnek: okul notları (iyi, orta, zayıf) veya anketlerdeki memnuniyet düzeyleri (çok memnun, memnun, memnun değil).
- Kategorik veriyi özetlemek için frekans tablosu, yüzde dağılımı, mod; görselleştirme için çubuk grafiği (bar chart) veya pasta grafiği kullanılır.



Önemli farklar ve uygulama
- Sayısal verilerle toplama, çıkarma, ortalama alma gibi işlemler anlamlıdır. Kategorik verilerde bu işlemler genelde anlamsızdır (örneğin renklerin ortalamasını alamazsın).
- Ordinal kategoriler bazen sayıya çevrilip (ör. çok kötü=1, kötü=2, iyi=3) analiz yapılır; ama bu atama aralığın eşit olduğunu göstermez — dikkatli olmak gerek.
- Görselleştirme seçimi çok önemli: kategorik için çubuk grafiği; sayısal için histogram veya kutu grafiği daha uygundur.



Yaygın hatalar



Küçük düzeyde uygulama örneği
- Sınıftaki 25 öğrencinin matematik notlarını sayısal veri olarak alırsın: önce ortalama ve medyanı bulur, dağılımı görmek için histogram çizersin.
- Aynı sınıftan en sevilen spor sorusunu alırsan kategorik veri elde edersin: her spor için kaç kişi dediğini sayıp çubuk grafiği ile gösterirsin.

Sonuç (özet)
- Sayısal = ölçülebilir, hesaplanabilir (kesikli veya sürekli).
- Kategorik = sınıflar/etiketler (nominal veya ordinal).
- Hangi tür olduğunu doğru belirlemek doğru analiz ve uygun grafik seçmene yardımcı olur.

Tabii — ortak bölenler konusunu adım adım ve örneklerle açıklayayım.

Ne demek “ortak bölen”?
- İki veya daha fazla sayıyı tam bölen pozitif tam sayılara ortak bölen denir. Yani sayılardan her birinin böleni olan sayıdır.
- En büyük ortak bölen (EBOB veya GCD): Ortak bölenler arasında en büyük olanıdır.



Ortak bölenleri ve EBOB’u bulmanın üç yaygın yöntemi

1) Bölenleri listeleme (küçük sayılar için kolay)
- Her sayının bölenlerini yaz, ortak olanları seç. En büyüğü EBOB’tur.
- Dezavantaj: sayı büyüdükçe zahmetli.

2) Asal çarpanlara ayırma
- Her sayıyı asal çarpanlarına ayır. Ortak asalların üslerinin en küçük olanlarını alıp çarp.
- Bu yöntem hem EBOB’u hem de ortak bölenlerin nasıl oluştuğunu gösterir.





3) Öklid algoritması (Euclidean algorithm) — büyük sayılar için en hızlı ve pratik yol
- Adım: Büyük sayıyı küçük sayıya böl, kalan r bulunur. EBOB(büyük, küçük) = EBOB(small, r). Kalan 0 olana kadar devam et. Kalan 0 olduğunda bölen son kalan olmayan sayıdır.
- Bu yöntem sayılar çok büyük olsa da az işlemle EBOB’u verir.



Ortak bölenlerin tümünü bulma
- Bir çift sayı için tüm ortak bölenler, EBOB’un bölenleri şeklindedir. Yani önce EBOB’u bul, sonra onun bölenlerini listele.

Uygulama: kesirleri sadeleştirme
- Bir kesri sadeleştirmek için pay ve paydayı EBOB’a bölersin.



Neden öğreniyoruz? Nerede kullanılır?
- Kesirleri sadeleştirme, paylaştırma, oran ve orantı problemleri, en küçük ortak kat (EKOK) hesabı (EBOB ile EKOK ilişkisi: a×b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b)), sayı teorisi problemleri ve günlük bölme işlemleri gibi birçok yerde kullanılır.



Özet
- Ortak bölen: İki sayıyı da bölen sayı.
- EBOB: Ortak bölenlerin en büyüğü. Bulmak için bölenleri listeleme, asal çarpanlara ayırma veya Öklid algoritmasını kullanabilirsin.
- EBOB, kesirleri sadeleştirme ve EKOK hesabı gibi birçok pratik işlemde işe yarar.

Tabii — birkaç farklı yöntemle ve örnekle gösteriyorum.















İstersen verdiğim örneklerden birini adım adım birlikte çözebilirim ya da senin verdiğin sayılarla EBOB hesaplayıp ortak bölenleri listeleyebilirim.