Tamam — muhtemelen bahsettiğin konu, bir üçgenin “iç çemberi” (inscribed circle) ve “çevrel çemberi” (circumcircle) ile ilgili olan kısım. Yani bir üçgende iki çember oluyor: biri üçgenin içine dokunan çember (iç çember), diğeri üçgenin bütün köşelerini çevreleyen çember (çevrel çember). Bunları nasıl bulduğumuzu ve özelliklerini adım adım anlatalım.
1) Çevrel çember (circumcircle) — üçgeni dıştan dolaşan çember
- Tanım: Üçgenin tüm köşeleri (A, B, C) çemberin üzerinde ise o çember çevrel çemberdir.
- Nerede bulunur? Çevrel çemberin merkezi, üçgenin kenarlarının orta dikmelerinin kesiştiği noktadır. Buna “çevrel merkez” (circumcenter) denir.
- Yapılışı (pergel + cetvel ile): Herhangi iki kenarın orta dikmelerini çiz. Bu iki orta dikmenin kesiştiği nokta O merkezdir. O noktasından bir köşeye (örneğin A) olan uzaklığı ölç ve pergel ile bu yarıçapı çevir.
- Önemli özellikler:
- Eşkenar üçgende çevrel merkez, inanç merkez ve ağırlık merkezi gibi noktalar aynıdır.
- Dik üçgende çevrel merkez hipotenüsün orta noktasıdır.
- Eğer üçgen akut ise çevrel merkez üçgenin içindedir; eğer üçgen obtuse ise dışındadır.
Örnek:
Örnek: ABC dik üçgeninde eğer AB hipotenüs ise, çevrel merkez AB’nin orta noktasıdır. Bu yüzden hipotenüsün orta noktasını merkez alıp AB uzunluğunun yarısı kadar pergel açısı ile çemberi çizersen köşeler A ve B otomatik çember üzerinde olur; C de öyle olur.
2) İç çember (incircle) — üçgenin içine dokunan çember
- Tanım: İç çember, üçgenin her kenarına teğet (dokunan) olan içteki çemberdir.
- Nerede bulunur? İç çemberin merkezi, üçgenin iç açı ikizlerinin kesiştiği noktadır. Buna “incenter” (iç merkez) denir.
- Yapılışı: Herhangi iki açının açı ikizlerini çiz. Bu ikizlerin kesiştiği nokta I merkezdir. I’den herhangi bir kenara çizilen dikmenin uzunluğu iç çemberin yarıçapıdır. O yarıçapla pergel açıp çemberi çiz.
- Önemli özellikler:
- İç merkez her zaman üçgenin içindedir (her üçgende).
- İç çemberin yarıçapı, üçgenin alanını ve çevresini kullanarak da hesaplanabilir: r = 2·Alan / Çevre (ya da r = Alan / yarı-çevre).
İpucu:
İpucu: Açı ikizlerini çizerken cetvel değil gönye ya da açı bölücü kullan; iki açı ikizinin kesiştiği nokta mutlaka iç merkez olur. İç merkeze kenara olan dik çizgi, çemberin kenara değdiği noktayı verir.
3) Farklı üçgen tiplerinde ne olur?
- Eşkenar üçgende iç merkez ve çevrel merkez aynı noktadadır; iki çember merkezleri aynı yerdedir (ama yarıçaplar farklı).
- Dik üçgende çevrel merkez hipotenüsün orta noktasıdır; iç merkez ise hala içtedir.
- Obtuse üçgende çevrel merkez üçgenin dışında olabilir; iç merkez hep içtedir.
Yaygın Hata:
Yaygın hata: Açı ikizi ile orta dikeyi karıştırmak — iç merkez için açı ikizleri, çevrel merkez için orta dikiler kullanılır. Ayrıca iç çemberin yarıçapını köşeye değil kenara (dik uzaklığa) ölçmelisiniz.
4) Pratik adımlar (kısa özet)
- Çevrel çember için: iki kenarın orta diklerini çiz → kesişen nokta merkez → merkezden bir köşeye pergel aç → çemberi çiz.
- İç çember için: iki açının açı ikizlerini çiz → kesişen nokta merkez → merkezden kenara dik çiz → o mesafe yarıçap → çemberi çiz.
Örnek:
Somut örnek: Bir üçgen çiz (A, B, C). AB kenarının orta noktasından dik çizgi çiz ve BC kenarının orta noktasından dik çizgi çiz; kesişim noktası O. Pergelle O-A uzaklığını alıp çemberi çizersen A, B, C çember üzerindedir. Sonra ∠A ve ∠B açı ikizlerini çiz, kesişen nokta I. I’den AB’ye dik çiz; kesişim noktası D. Pergele I-D açısı ile iç çemberi çiz.
Son olarak, eğer kastettiğin konu farklıysa (mesela iki ayrı çemberin ortak olduğu bölgelerden üçgen oluşturma, veya iki çember arasına üçgen sığdırma gibi daha özel bir yapıysa) bunu da söyleyebilirdin ama genel olarak okulda çıkan “üçgende iç çember ve çevrel çember” böyle çalışılır.
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- Çevrel merkez ile iç merkezin koordinatları hangi formüllerle hesaplanır?
- Bir üçgenin iç çember yarıçapını alan ve çevre kullanarak nasıl hesaplarım?