"Devirli sayı" (devirli ondalık) = ondalık kısmında belli bir basamak veya basamak grubunun sonsuz kez tekrar etmesi. Örneğin 0,333... (yazarken 0,\overline{3}) ve 0,142857142857... (0,\overline{142857}) devirli sayılardır.
Nasıl tanırsın:
- Ondalık yazımda bir bölüm sürekli tekrarlıyorsa o sayı devirlidir.
- Tekrar eden kısmı göstermek için üstü çizili (bar) yazılır: 0,\overline{3}, 0,1\overline{23} gibi.
Devirli ondalığı kesre çevirme (adım-adım):
1) Basit devirli (tamamen devri olan): örn. x = 0,\overline{3}.
- x = 0,333...
- 10x = 3,333...
- 10x - x = 3,333... - 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9 = 1/3.
Örnek:
0,\overline{3} için: x = 0,333..., 10x = 3,333..., fark 9x = 3 → x = 1/3
2) Başında sabit kısmı, sonra deviri olan: örn. x = 0,1\overline{23} (yani 0,1232323...).
- Devir uzunluğu = 2 (“23”), devirden önce gelen ondalık uzunluğu = 1 (yani “1”).
- 1000x = 123,2323... (10^{(1+2)} ile çarptık)
- 10x = 1,2323... (10^{1} ile çarptık)
- Çıkarma: 1000x - 10x = 122 ⇒ 990x = 122 ⇒ x = 122/990 = 61/495 (sadeleştir).
Örnek:
0,1\overline{23} → (1000x - 10x) yöntemiyle x = 61/495
Kural özet:
- x = (tam sayı kısmı + ondalık) için uygun 10^k ile çarp, devir uzunluğu r ise 10^{k+r}x ve 10^k x al, çıkar, kalan / (10^{k+r} - 10^k) formülü çıkar.
- Sadeleştir.
Kesiri devirli ondalığa çevirme:
- Payı paydaya böl (uzun bölme). Eğer kalan 0 olursa sonlu ondalık; kalanlar daha önce çıkarsa ondan sonraki bölüm döngüye girer ve tekrarlayan kısım bulunur.
Örnek:
1/3 bölünürse kalan tekrar 1 olur → 0,333... = 0,\overline{3}. 1/6 = 0,1666... = 0,1\overline{6}.
İpucu:
Devir kısmını hızlı göstermek için tekrarlayan basamakların üzerine bar (¬) koy: 0,2\overline{45} gibi.
Yaygın Hata:
Devirli sayı çevirirken yanlış güçle çarpma: sabit ondalık kısmı varsa önce toplam devir+baş uzunluğunu, sonra sadece baş uzunluğunu kullan; aksi hâlde çıkarma yanlış olur.
Birkaç pratik örnek hızlı:
- 0,\overline{7} → x=0,777..., 10x=7,777..., 9x=7 → x=7/9.
- 2,3\overline{4} → x=2,34444...; k=1 (ondalıkta sabit), r=1 (devri “4”): 10^{1+1}x=100x=234,444..., 10^{1}x=10x=23,444...; 90x=211 → x=211/90.
İpucu:
Bölmeye başlarken kalanları kaydet; kalan tekrar görünür görünmez devir başlıyor.
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- 1/7, 2/7 gibi kesirlerin ondalık gösterimleri neden uzun devirler oluşturur?
- Ondalık gösterimde bar yerine normal yazarken nasıl net anlaşılır (örneklerle)?