Hap Bilgi Oturumu

💬 Sohbet

20:58:04

AI Öğretmen

Merhaba, bana Matematik ile ilgili ne sormak istersin?

20:58:05

Öğrenci

Matematikte devirli bir sayıyı nasıl kesre çevirebilirim?

20:58:48

AI Öğretmen

Devirli (yinelemeli) ondalık sayıları kesre çevirmek için kolay ve güvenli bir yol var. Adımları ve birkaç örnekle anlatalım.

Genel yöntem (adım adım)
1) Sayıyı x ile göster: örn. x = 0,1̅6̅ (yani 0.1666...)
2) Ondalık kısmın iki bölümünü ayır: başta tekrar etmeyen kısmı (m basamak) ve tekrar eden kısmı (n basamak).
3) x'i 10^(m+n) ile ve 10^m ile çarp, sonra çıkarma yap. Böylece tekrar eden kısım kaybolur ve denklem tam sayılardan oluşur.
4) Çıkan sonucu x için çözüp sadeleştir.

Hızlı kurallar
- Eğer ondalık kısmın tamamı tekrar ediyorsa (ör. 0.\overline{3}), kesir = (tekrar eden rakamlar) / (n tane 9). Örnek: 0.\overline{3} = 3/9 = 1/3.
- Eğer başta bir kısım sabitse (ör. 0.1\overline{6}), kesir = (tüm ondalık basamaklar — sadece sabit olan kısmın basamakları) / (n tane 9 sonra m tane 0). Örnek adımda gösterilecek.

Örnek:
Örnek 1 — Saf devir: x = 0.\overline{3}
x = 0.333...
10x = 3.333...
10x − x = 3 ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9 = 1/3

Örnek:
Örnek 2 — Karışık (önce sabit, sonra devir): x = 0.1\overline{6} = 0.1666...
m = 1 (sabit kısım "1"), n = 1 (devir "6")
100x = 16.666...
10x = 1.666...
100x − 10x = 15 ⇒ 90x = 15 ⇒ x = 15/90 = 1/6
Aynı sonuca kural ile: (16 − 1) / (90) = 15/90 = 1/6

Örnek:
Örnek 3 — Tam sayı + karışık ondalık: x = 2.3\overline{45} = 2.3454545...
m = 1 (sabit ondalık "3"), n = 2 (devir "45")
10^{m+n}=1000, 10^{m}=10
1000x = 2345.4545...
10x = 23.4545...
1000x − 10x = 2322 ⇒ 990x = 2322 ⇒ x = 2322/990 = 129/55

İpucu:
Basit hataları önlemek için: önce kaç basamağın sabit (m) ve kaç basamağın devir (n) olduğunu say; sonra 9’ları ve 0’ları doğru sırada kullan (n tane 9, ardından m tane 0).

Yaygın Hata:
Öğrencilerin sıkça yaptığı hata: doğrudan 10^k ile çarpıp tekrar eden kısmı yok edememek. Doğru kural, 10^(m+n) ile ve 10^m ile çarpıp çıkarmaktır. Ayrıca sonucu sadeleştirmeyi unutmak da yaygındır.

Ek not: 0.999... = 1 olduğu da bu yolla gösterilebilir: x = 0.999..., 10x = 9.999..., 10x − x = 9 ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1.

Bu adımları uygulayın, birkaç örnek çözünce mantığı oturur.

🤔 İlgili Sorular:

Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
Devirli kesirleri toplarken veya çıkartırken nelere dikkat etmeliyim?
0,999... neden 1'e eşittir ve bunu farklı yollardan nasıl gösterebilirim?

20:59:05

Öğrenci

7.Sınıf için anlatabilir misin

20:59:30

AI Öğretmen

Tabii — 7. sınıf düzeyine uygun, kolay anlaşılır şekilde anlatayım.

Önce kısa fikir: Devirli ondalık sayıdaki tekrar eden kısmı götürmek için sayıyı uygun 10 kuvvetleriyle çarpıp çıkartırız. Bu işlem tekrar eden kısmı yok eder ve geriye kesir (tam sayı / tam sayı) kalır.

Adım adım yöntem (basit)
1) Sayıyı x ile göster: örn. x = 0,1̅6̅ (yani 0.1666...)
2) Ondalık kısımda tekrar eden kaç rakam olduğunu say (buna n diyoruz). Eğer başta tekrarsız bir kısım varsa onun basamak sayısını da say (buna m diyoruz).
3) x'i 10^(m+n) ile ve 10^m ile çarp. Sonra bu iki sonucu birbirinden çıkar. Tekrar eden kısmın hepsi aynı kaldığı için birbirini yok eder.
4) Çıkan denklemden x'i bul ve kesri mümkünse sadeleştir.

Kolay kural (hatırlaması pratik)
- Eğer ondalık kısmın tamamı tekrar ediyorsa (ör. 0.\overline{3}), kesir = (tekrar eden rakamlar) / (n tane 9).
- Eğer önce sabit bazı rakamlar varsa sonra devir varsa, kesir = (tüm ondalık rakamlar — sadece sabit kısmın rakamları) / (n tane 9 sonra m tane 0).

Örneklerle görelim:

Örnek:
Örnek 1 — Tam devir (çok kolay):
x = 0.\overline{3} = 0.333...
10x = 3.333...
10x − x = 3 ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9 = 1/3

Örnek:
Örnek 2 — Önce sabit sonra devir:
x = 0.1\overline{6} = 0.1666...
Burada m = 1 (sabit "1"), n = 1 (devir "6").
100x = 16.666...
10x = 1.666...
100x − 10x = 15 ⇒ 90x = 15 ⇒ x = 15/90 = 1/6

Örnek:
Örnek 3 — Tam sayı + ondalık devir:
x = 2.3\overline{45} = 2.3454545...
m = 1 (sabit ondalık "3"), n = 2 (devir "45").
10^{m+n} = 1000, 10^m = 10
1000x = 2345.4545...
10x = 23.4545...
1000x − 10x = 2322 ⇒ 990x = 2322 ⇒ x = 2322/990 = 129/55 (sadeleştirilmiş)

İpucu:
Hızlı hatırlama: n tane 9, sonra m tane 0. Yani önce tekrar eden kısmın uzunluğu kadar 9 yaz, sonra sabit kısmın uzunluğu kadar 0 yaz.

Yaygın Hata:
En sık yapılan hata: m ve n değerlerini yanlış saymak (örneğin sabit kısmı devirmiş gibi saymak) veya yanlış 10 kuvvetiyle çarpıp tekrar eden kısmı yok edememek. Bir de sonucu sadeleştirmeyi unutmak yaygındır.

Son olarak kısa örnek kural uygulaması: x = 0.27̅ (yani 0.2777...) burada sabit 2 var m=1, devir 7 var n=1. Kesir = (27 − 2) / (9*10) = 25/90 = 5/18.

Uygulama yapınca mantığı oturur — önce m ve n’yi doğru say, sonra 9 ve 0 kuralını uygula, en son sadeleştir.

🤔 İlgili Sorular:

Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
Devirli ondalık sayıları toplarken veya çıkartırken nelere dikkat etmeliyim?
0,999... neden 1'e eşittir ve bunu devir-kesir yöntemleriyle nasıl gösterebilirim?

Oturum Bilgileri

💬 Sohbet