Kareköklü sayılarla ilgili sade ve anlaşılır bir konu anlatımı:
1) Temel tanım
- Bir sayının karekökü, o sayının karesini (kendisinin kendisiyle çarpımını) veren sayıdır. Karekök sembolü: √.
- Örnek: √9 = 3 çünkü 3 · 3 = 9.
- Matematikte √ ifadesi genellikle "ana karekök" yani pozitif değeri gösterir. Yani √9 = 3, değil -3.
İpucu:
Bir sayının karesi her zaman sıfır veya pozitif olur; bu yüzden karekök tanımı genellikle negatif sonuç vermez.
2) Tam kare sayılar
- Tam kare: bir tam sayının karesi olan sayılardır: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Örnek:
Örnek: 16 bir tam karedir çünkü 4² = 16 ve √16 = 4.
3) Karekökün sadeleştirilmesi (radikal sadeleştirme)
- Bir radikali sadeleştirirken içindeki sayıyı en büyük tam kare çarpanına ayırırız.
- Adımlar: sayıyı tam kare × kalan biçimine yaz, tam kareyi kök dışına çıkar.
Örnek:
√72 = √(36·2) = √36 · √2 = 6√2
İpucu:
Çarpanlara ayırırken 4, 9, 16, 25, 36 ... gibi tam kareleri aramak işinizi kolaylaştırır.
4) Köklerle işlem kuralları (pozitif sayılar için geçerlidir)
- Çarpma: √a · √b = √(a·b) (a,b ≥ 0)
- Bölme: √a / √b = √(a/b) (b > 0)
- Üslere bağlı ilişki: √(a) = a^(1/2). Dolayısıyla (a^(1/2))^2 = a.
Örnek:
√2 · √8 = √(16) = 4
Yaygın Hata:
Yanlış: √(a + b) = √a + √b şeklinde yazmak. Bu eşitlik genelde yanlış olur. Örneğin √(9 + 16) = √25 = 5 ama √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
5) Benzer kökleri toplama çıkarma
- Sadece iç kısımları (radikand) aynı olan terimler toplanıp çıkarılabilir: a√x + b√x = (a+b)√x.
Örnek:
2√3 + 5√3 = 7√3. Ama 2√3 + √12 önce √12 = 2√3 yapılıp 2√3 + 2√3 = 4√3 olur.
6) Kök içinde değişkenler ve işaretler
- √(x^2) = |x|. Yani karekök şartı nedeniyle sonuç her zaman negatif olmayacak şekilde mutlak değerle ifade edilir.
İpucu:
Genelde sınavlarda √(x^2) yerine |x| yazılması gerekir; özellikle x negatif olabilirken yanlış sonuç çıkarmamak için dikkat et.
7) Paydada kök (rasyonelleştirme)
- Bir kesrin paydasında kök varsa genellikle paydayı rasyonelleştiririz (kökü paydadan kaldırmak).
- Tek terimli kök için: 1/√2 = (√2)/(√2·√2) = √2/2.
- İki terimli kök (a + √b) şeklinde ise konjugat ile çarparız: (a - √b).
Örnek:
3/(2+√3) · (2-√3)/(2-√3) = (3(2-√3))/(4 - 3) = 3(2-√3)/1 = 6 - 3√3
8) Karekök içeren denklemler çözümü
- Denklemi çözmeden önce kökün içinin tanım kümesine dikkat (kök altı ≥ 0 olmalı).
- Kök içeren eşitliklerde her iki taraf kareye alınırken extraneous (sahte) köklerin çıkabileceğini unutma: çözümleri bulduktan sonra orijinal denkleme yerine koyup doğrula.
Örnek:
√(x+1) = x - 1. Koşul: x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1. Kare al: x+1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x +1 ⇒ 0 = x^2 -3x ⇒ x(x-3)=0 ⇒ x=0 veya x=3. Ancak x≥1 olduğundan x=3 geçerli, x=0 elenir.
Yaygın Hata:
Sık hata: Her kare alma işleminden sonra bulunan kökleri kontrol etmemek. Kare alma işleminden sonra denklemler sahte çözümler içerebilir.
9) Ek örnekler hızlıca
- Sadeleştirme: √200 = √(100·2) = 10√2.
- Toplama: 3√5 + 2√20 = 3√5 + 2·(2√5) = 3√5 + 4√5 = 7√5.
- Rasyonelleştirme: 5/(√6) = 5√6/6.
10) Hızlı hatırlatmalar
- √(a·b) = √a·√b ama sadece a,b ≥ 0 için güvenli.
- √(a+b) ≠ √a + √b genelde yanlış.
- √(x^2) = |x|.
- Denklemlerde sonuçları kontrol et.
İpucu:
Karekökleri hızlı sadeleştirmek için sayıyı 4, 9, 16, 25, 36... gibi büyük tam karelere bölmeyi dene; özellikle 2 basamaklı sayılarda 36, 25, 16 sık çıkar.
İstersen örnek soru çözümleriyle bu konuyu daha pekiştirebiliriz.
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- Kök içeren bir ifadeyi nasıl tamamen sadeleştiririm?
- Denklemlerde kare alma sonrası sahte kökleri nasıl kontrol ederim?