Tabii — yedinci sınıfa uygun, kısa ve anlaşılır bir özet hazırlıyorum. Devirli sayılar (devirli ondalıklar) ne demek, nasıl yazılır, kesire nasıl çevrilir ve tersine nasıl bulunur — adım adım görelim.
1) Devirli sayı nedir?
- Devirli ondalık, ondalık basamakların bir kısmının sürekli tekrar ettiği sayıdır. Tekrar eden kısmın üzerine çizgi (veya parantez) konarak gösterilir.
Örnek:
Örnek gösterimler: 0,333... = 0,(3) ; 0,1666... = 0,1(6) ; 2,142857142857... = 2,(142857)
2) Devirli ondalığı kesire çevirme (en yaygın yöntem)
- Adım 1: x = devirli sayı olsun.
- Adım 2: Tekrar eden bloğun ve tekrar etmeden önce gelen basamak sayısına göre uygun 10^k ile çarpın, sonra çıkarma yapın. Böylece ondalıklı kısımlar birbirini yok eder ve bir denklem elde edersiniz.
Örnek:
Basit örnek: x = 0,(3) = 0,333...
10x = 3,333...
10x − x = 3 → 9x = 3 → x = 3/9 = 1/3.
Örnek:
Biraz daha uzun: x = 0,1(6) = 0,1666...
10x = 1,666...
100x = 16,666...
100x − 10x = 15 → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6.
İpucu:
Tekrar eden kısmın uzunluğuna göre (sadece tekrar eden kısmın uzunluğu n, tekrar etmeden önce gelen basamak sayısı m) genelde 10^{m+n} ve 10^m kullanılır; sonra çıkarıp sadeleştirirsiniz.
3) Kesiri devirli ondalığa çevirme
- En basit yöntem: payı paydaya bölün (uzun bölme). Kalan 0 olursa ondalık sonlu, kalan belli bir noktada tekrar ederse devirli ondalık elde edersiniz.
Örnek:
Örnek: 1/7 → bölünce 0,142857142857... çıkar; tekrar eden blok 142857 olduğundan 1/7 = 0,(142857).
İpucu:
Uzun bölmede kalanları takip edin: aynı kalan tekrar ederse, o noktadan sonra basamaklar da aynı şekilde tekrar eder.
4) Bir kesirin sonlu mu yoksa devirli mi olacağını anlama
- Kesiri sadeleştirin. Sadeleşmiş paydanın asal çarpanları yalnızca 2 ve/veya 5 ise ondalık sonludur. Başka bir asal çarpan varsa ondalık kesinlikle devirlidir.
Örnek:
Örnek: 3/8 → 8 = 2^3 → sonlu (0,375). 5/12 → 12 = 2^2·3 → 3 olduğu için devirli (5/12 = 0,41(6)).
5) Devirli gösterim kuralları ve okunuş
- Tekrar eden blok en kısa tekrarlayan bölüm olmalı (ör. 0,999... = 0,(9); 0,454545... = 0,(45)).
- Tekrar eden kısmı doğru seçmek önemli; bazen daha kısa bir blok da tekrar ediyor olabilir.
Yaygın Hata:
Çubuğu (çizgiyi) yanlış yere koymak: ör. 0,123123... için 0,1(23123) değil 0,(123) veya 0,123(123) değil 0,(123) doğru olanıdır. Her zaman en küçük tekrarlayan bloğu bulun.
6) Pratik ipuçları
İpucu:
Uzun bölme yaparken kalanları bir liste olarak yazın; aynı kalan tekrar görünür görünmez tekrarlayan bloğu bulun.
İpucu:
Devirli ondalığı kese çevirirken önce tam sayı kısmını ayrı yazıp ondan sonra kalan ondalık kısmı için işlem yapmak işleri kolaylaştırır.
7) Hızlı örnek özetleri
Örnek:
0,(3) = 1/3.
0,0(9) = 9/90 = 1/10? (Dikkat: 0,0(9) = 0,1 çünkü 0,(9) = 1. Bu tip ifadelerde sadeleştirmeyi kontrol et.)
Yaygın Hata:
Bazı öğrenciler 0,(9) = 1 olduğunu kabullenmez; matematiksel olarak 0,999... = 1'dir — bu önemlidir.
Kısa özet:
- Devirli ondalık, belirli basamakların sürekli tekrarladığı ondalıktır; parantez veya üst çizgi ile gösterilir.
- Devirli ondalığı kesre çevirmek için x koyup uygun 10^k ile çarpma ve çıkarma yöntemi kullanılır.
- Kesiri ondalığa çevirirken uzun bölme ve kalan takibi en güvenli yoldur.
- Paydayı sadeleştirip asal çarpan kontrolü yaparsanız sonlu mu yoksa devirli mi olacağını hızlıca anlarsınız.
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- Devirli ondalığı kesre çevirirken hangi sayılarla çarpmam gerektiğini nasıl hızlı belirlerim?
- 0,(9) = 1 olduğunu mantıklı şekilde nasıl gösteririm?