Tabii — çarpanlar ve katlar konusunu sade ve örneklerle anlatayım. Adım adım ilerleyeceğim, önemli noktaları ve sık yapılan hataları da göstereceğim.
1) Tanımlar
- Çarpan (bölen): Bir sayıyı tam bölen sayılara çarpan denir. Örneğin 3 × 4 = 12 olduğu için 3 ve 4, 12’nin çarpanlarıdır.
- Kat: Bir sayının tam sayı ile çarpımlarına o sayının katları denir. Örneğin 12, 3’ün katıdır çünkü 3 × 4 = 12.
Örnek:
Çarpanlar: 12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Katlar: 4’ün ilk birkaç katı: 4, 8, 12, 16, 20, ... (sonsuz devam eder)
2) Nasıl bulurum?
- Çarpanları bulmak: Sayıyı küçükten başlayarak bölen tüm sayıları yaz. Genelde 1’den başlayıp kareköküne kadar kontrol edip eşleşen çifti de eklemek hızlıdır.
- Katları bulmak: Sayıyı 1, 2, 3, ... ile çarparak yaz (sınırlı sayıda lazım olur çünkü katlar sonsuzdur).
İpucu:
Hızlı kontrol: Eğer küçük bir sayıysa 2, 3, 5, 10 gibi bölünebilme kurallarını kullan; büyüklerde asal çarpanlara ayırmak daha pratiktir.
3) Bölünebilme kuralları (en işe yarayanlar)
- 2 ile bölünme: Son rakamı çiftse.
- 3 ile bölünme: Basamak toplamı 3’ün katıysa.
- 5 ile bölünme: Son rakam 0 veya 5 ise.
- 10 ile bölünme: Son rakam 0 ise.
- 9 ile bölünme: Basamak toplamı 9’un katıysa.
4) Asal sayılar ve asal çarpanlara ayırma
- Asal sayı: sadece 1 ve kendisine bölünen (ör. 2,3,5,7,11,...).
- Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak, o sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmak demektir. Bu işlem EBOB ve EKOK hesaplamada çok işe yarar.
Örnek:
36 = 2^2 × 3^2 (çünkü 36 = 4×9 = 2×2×3×3)
5) EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat)
- EBOB: İki veya daha fazla sayının ortak en büyük çarpanı.
- EKOK: İki veya daha fazla sayının ortak en küçük katı.
- Asal çarpan yöntemiyle: Her sayının asal çarpanlarını yaz, ortak olanlarda en küçük kuvvetleri alarak EBOB; tüm asal faktörlerde en büyük kuvvetleri alarak EKOK.
- İlişki: a × b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b)
Örnek:
36 ve 48 için:
36 = 2^2 × 3^2
48 = 2^4 × 3^1
EBOB = 2^{min(2,4)} × 3^{min(2,1)} = 2^2 × 3^1 = 4×3 = 12
EKOK = 2^{max(2,4)} × 3^{max(2,1)} = 2^4 × 3^2 = 16×9 = 144
İpucu:
Kesirleri sadeleştirirken EBOB, ortak paydada işlem yaparken EKOK kullanılır. Ayrıca büyük sayılarda EBOB’u hızlı bulmak için Öklid algoritması (bölme kalanı yöntemi) daha pratiktir.
Örnek:
Öklid algoritması örneği (84 ve 30):
84 ÷ 30 = 2 kalır 24
30 ÷ 24 = 1 kalır 6
24 ÷ 6 = 4 kalır 0 → EBOB = 6
6) Nerelerde kullanılır? (Kısa uygulamalar)
- Kesir toplama/çıkarma: Ortak paydayı bulmak için EKOK.
- Sadeleştirme: EBOB ile pay ve paydayı bölme.
- Zamanlama/senkronizasyon problemleri: İki olayın aynı anda tekrar edeceği zamanı bulmak için EKOK.
- Bölme ve paylaştırma problemleri: Nesneleri eşit parçalara ayırırken çarpanlar işinize yarar.
Yaygın Hata:
Çok yapılan hata: Çarpan (bölen) ile katı karıştırmak. Örneğin “12, 4’ün çarpanı” demek yanlış; doğru olan “4, 12’nin çarpanıdır” veya “12, 4’ün katıdır”. Ayrıca bazı öğrenciler katların sonsuz olduğunu unutup “katları biter” diye düşünür.
7) Pratik ipuçları
- Çarpan ararken karekök yöntemini kullan: Bir sayının çarpanlarını ararken yalnızca 1’den √n’ye kadar kontrol et; bulunan her bölenin eşleniğini de ekle.
- Asal çarpan ağacı yap: Özellikle 2, 3, 5 gibi küçük asal sayılarla bölerek ilerlemek kolaylaştırır.
- EKOK için iki sayının çarpımını EBOB’a bölme kuralını hatırla: EKOK(a,b) = a×b / EBOB(a,b)
Örnek:
Kesir sadeleştirme örneği:
48/36. EBOB(48,36)=12 olduğuna göre 48/36 = (48÷12)/(36÷12) = 4/3.
Son olarak, kısa özet:
- Çarpan: Bir sayıyı tam bölen sayılar.
- Kat: Bir sayının tam sayı ile çarpımları (sonsuz).
- EBOB = ortak en büyük çarpan, EKOK = ortak en küçük kat.
- Asal çarpanlara ayırma ve bölünebilme kuralları çok işe yarar.
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- EBOB ve EKOK’u hızlı ve pratik nasıl bulurum?
- Asal çarpanlara ayırmayı sınavda hızlı yapmak için hangi yöntemleri önerirsin?