Hap Bilgi Oturumu

Merhaba, bana Matematik ile ilgili ne sormak istersin?

Rasyonel sayılar hakkında açıklama:

Rasyonel sayı, iki tam sayının oranı (kesri) olarak yazılabilen sayılardır. Yani a ve b tam sayılar olmak üzere b ≠ 0 şartıyla a/b şeklinde yazılabilen her sayı rasyoneldir.

Temel özellikler
- Her tam sayı rasyoneldir (örneğin 7 = 7/1).
- 0 rasyoneldir (0 = 0/1).
- Rasyonel sayıların ondalık gösterimleri ya sonlu (ör. 0,25) ya da periyodik/tekrarlayan (ör. 0,333…).
- Rasyonel sayılar toplama, çıkarma, çarpma işlemlerine göre kapalıdır; bölme yaparken bölenin sıfır olmaması gerekir.



İşlemler (adım adım örneklerle)
- Toplama: 2/3 + 3/4 = ortak payda 12 → 8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 5/12
- Çıkarma: 5/6 − 1/4 = ortak payda 12 → 10/12 − 3/12 = 7/12
- Çarpma: (−2/3) × (9/4) = (−18/12) = −3/2 (önce sadeleştirmek işleri kolaylaştırır; 9 ve 3 ile sadeleştirilir)
- Bölme: (3/4) ÷ (2/5) = (3/4) × (5/2) = 15/8 (bölme, çarpma işlemine çevirilir)



Karşılaştırma
- İki kesiri karşılaştırmak için ortak paydaya getirebilir veya çapraz çarpma yöntemi kullanabilirsin: hangisi daha büyük? 3/5 ve 4/7 için 3×7 = 21, 4×5 = 20 → 3/5 daha büyüktür.



Ondalık → Kesir dönüşümü (basit örnek)
- 0,75 = 75/100 = 3/4 (sadeleştirme ile)
- 0,333… için x = 0,333… → 10x = 3,333… → 10x − x = 3 → 9x = 3 → x = 1/3

Kısa özet
- Rasyonel sayılar = tam sayıların oranı (a/b, b ≠ 0).
- Ondalık gösterimleri ya sonlu ya da periyodik.
- Toplama, çıkarma, çarpma her zaman rasyonel sonuç verir; bölme de bölen sıfır değilse rasyoneldir.
- İyi bir alışkanlık: işlemler sonrası sadeleştir, işaretlere dikkat et.

Tamam — bir soru sormamı istemişsin. Ben doğrudan soru sormak yerine, rasyonel sayılarla ilgili örnek bir problem verip adım adım çözeceğim; böylece hem soru hem çözüm görmüş olursun.

Örnek problem 1 (toplama-çıkarma, ortak payda):
Çözüm göstereceğim ifade: 2/3 + 5/6 − 1/2

Adımlar:
1. Kesirlerin paydalarını ortak hale getir. Paydalar 3, 6, 2 → en küçük ortak payda 6.
2. Her kesiri paydası 6 olacak şekilde yaz:
- 2/3 = 4/6
- 5/6 = 5/6
- 1/2 = 3/6
3. İşlemi yap: 4/6 + 5/6 − 3/6 = (4+5−3)/6 = 6/6 = 1
Sonuç: 1





Örnek problem 2 (bölme → çarpma):
Çözüm göstereceğim ifade: (3/4) ÷ (2/5)

Adımlar:
1. Bölme işlemini çarpma işlemine çevir: a ÷ b = a × (1/b). Yani (3/4) ÷ (2/5) = (3/4) × (5/2).
2. Çarpma yapmadan önce sadeleştirme yap: 3/4 × 5/2 — burada 5 ile 4 sadeleşmez ama 3 ve 2 sadeleşir mi? Hayır. Yine de çarp:
- Pay: 3×5 = 15
- Payda: 4×2 = 8
3. Sonuç 15/8, istersen bileşik kesim 1 7/8 olur.
Sonuç: 15/8 = 1 7/8





Örnek problem 3 (periyodik ondalığı kesre çevirme):
Sayı: 0,333… (yani 0,(3))

Adımlar:
1. x = 0,333…
2. 10x = 3,333…
3. 10x − x = 3,333… − 0,333… → 9x = 3
4. x = 3/9 = 1/3





Kısa tekrar:
- Rasyonel sayılar a/b (b ≠ 0) biçiminde yazılabilen sayılardır.
- Ondalık gösterimleri ya sonlu ya da periyodik olur.
- İşlemlerde ortak payda, sadeleştirme ve bölmeyi çarpmaya çevirme temel adımlardır.