Hap Bilgi Oturumu

💬 Sohbet

19:44:36

AI Öğretmen

Merhaba, bana Matematik ile ilgili ne sormak istersin?

19:44:37

Öğrenci

çarpanlar ve katlar orta ve zor soru

19:45:16

AI Öğretmen

Çok iyi — çarpanlar ve katlarla ilgili orta (orta zorluk) ve zor seviye örnekleri çözerek açıklayayım. Her örnekte adım adım çözüm var, önemli ipuçları ve sık yapılan hatalara dikkat çekeceğim.

Kısa hatırlatma: Bir sayının çarpanları (bölenleri) onu tam bölen sayılardır. Katlar ise verilen sayı ile çarpılarak elde edilen sayılardır. EBOB (en büyük ortak bölen) = ortak çarpanların en büyüğü. EKOK (en küçük ortak kat) = ortak katların en küçüğü.

Örnek:

Orta 1 — EBOB bulma (84 ve 126)
Çözüm:
1) Asal çarpanlara ayır:
84 = 2^2 × 3 × 7
126 = 2 × 3^2 × 7
2) Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetlerini al:
Ortak: 2^(min 2,1)=2^1, 3^(min 1,2)=3^1, 7^(min1,1)=7
EBOB = 2 × 3 × 7 = 42

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>Asal çarpanlara ayırmak EBOB ve EKOK için en güvenli yöntemdir.</div>
<common-mistake>Ortak kuvvetleri alırken maksimumu almak hatası sık yapılır; EBOB için 'min', EKOK için 'max' alınır.</common-mistake>

Örnek:

Orta 2 — EKOK bulma (18 ve 24)
Çözüm:
1) Asal çarpanlara ayır:
18 = 2 × 3^2
24 = 2^3 × 3
2) EKOK için ortak asal çarpanların en büyük kuvvetlerini al:
2^(max1,3)=2^3, 3^(max2,1)=3^2
EKOK = 2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>EKOK için aynı asal çarpanların en büyük üslü hallerini çarparsın.</div>

Örnek:

Orta 3 — Bölünebilirlik uygulaması (123456 sayısı 3 ve 9 ile bölünebilir mi?)
Çözüm:
- 3 ile bölünebilme kuralı: Basamakların toplamı 3'ün katıysa sayı 3 ile bölünür.
Basamak toplamı: 1+2+3+4+5+6 = 21. 21, 3'ün katı → 123456 3 ile bölünür.
- 9 için: Basamak toplamı 9'un katı mı? 21 ≠ 9'un katı → 9 ile bölünmez.

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>Hızlı bölünebilme kuralları sınavlarda zaman kazandırır.</div>

Örnek:

Zor 1 — Pozitif bölen sayısını ve bölenlerin toplamını bulma (360)
Çözüm:
1) 360'ı asal çarpanlara ayır: 360 = 2^3 × 3^2 × 5^1
2) Pozitif bölen sayısı formülü: (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24 → 360'ın 24 pozitif böleni var.
3) Bölenlerin toplamı formülü: (2^(3+1)-1)/(2-1) × (3^(2+1)-1)/(3-1) × (5^(1+1)-1)/(5-1)
= (16-1)/1 × (27-1)/2 × (25-1)/4
= 15 × 26/2 × 24/4 = 15 × 13 × 6 = 1170
Yani bölenlerin toplamı 1170.

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>Bir sayının bölen sayısını bulmak için asal çarpanlardaki üslere +1 yapıp çarpıyoruz.</div>
<common-mistake>Bölen sayısını bulurken üsleri toplamayı unutmak (ör. 3 yerine 2) sık görülür.</common-mistake>

Örnek:

Zor 2 — EKOK ve EBOB ilişkisi / bilinmeyen sayı bulma
Soru: a ve b pozitif tam sayılar için EBOB(a,b)=14 ve EKOK(a,b)=420 ise a·b nedir?
Çözüm:
a·b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b)
Buna göre a·b = 14 × 420 = 5880

Açıklama: Genel formül a·b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b) (iki sayı için).

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>Bu formül iki sayının çarpımını hızlıca bulmak için çok kullanışlıdır.</div>

Örnek:

Zor 3 — En küçük n bulma (EKOK şartı)
Soru: En küçük pozitif tam n nedir ki EKOK(60, n) = 420 ?
Çözüm:
1) 60 = 2^2 × 3 × 5
420 = 2^2 × 3 × 5 × 7 = 60 × 7
2) EKOK(60, n) = 420 demek, n'in asal çarpanlarının ve üslerinin 60 ile birleşince 2^2·3·5·7 olması gerekir. Yani n en az 7'i içermeli; 7 dışında 60'taki üsleri aşmasına gerek yok.
3) Dolayısıyla en küçük n = 7. (Kontrol: EKOK(60,7) = 60×7 = 420 çünkü 7, 60 ile ortak asal çarpanı yok.)

<common-mistake>EKOK 420 ise n'in 420 olması gerekmez; n daha küçük olabilir (ör. burada n=7).</common-mistake>

Özet kısa ipuçları:
- EBOB için ortak asal çarpanlarda en küçük üsleri, EKOK için en büyük üsleri al.
- Asal çarpanlara ayırma hem EBOB/EKOK hem de bölen sayısı/toplamı sorunlarında anahtar.
- Hızlı bölünebilme kuralları (2,3,5,9,11 vb.) sınavda pratik kazandırır.

🤔 İlgili Sorular:

Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
EBOB ve EKOK'u hızlıca nasıl hesaplarım?
Bir sayının kaç pozitif böleni olduğunu nasıl bulurum?

19:45:58

Öğrenci

soru örnekleri

19:46:33

AI Öğretmen

Tamam — çarpanlar ve katlarla ilgili daha fazla orta ve zor seviye soru örneği ve adım adım çözümleri veriyorum. Her örnekte önemli ipuçları ve sık yapılan hatalara dikkat çekeceğim.

Örnek:

Orta 1 — EBOB’u Öklid yöntemiyle bulma (270 ve 192)
Çözüm:
Öklid algoritmasıyla devamlı kalan alarak:
270 = 192·1 + 78
192 = 78·2 + 36
78 = 36·2 + 6
36 = 6·6 + 0
Kalan 0 olduğunda son kalan (6) EBOB’tur. Yani EBOB(270,192)=6.

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>Öklid algoritması kısa yoldur; büyük sayılarda asal çarpanlara ayırmaktan hızlıdır.</div>
<common-mistake>Kalanları yanlış yazmak veya bölme adımlarını atlamak hataya yol açar — her adımı dikkatle yap.</common-mistake>

Örnek:

Orta 2 — Belirli aralıktaki katları sayma (1–200 arası kaç sayı 4 veya 6’nın katıdır?)
Çözüm:
- 4’ün katı sayısı: ⌊200/4⌋ = 50
- 6’nın katı sayısı: ⌊200/6⌋ = 33
- Hem 4 hem 6’nın katı olanlar = LCM(4,6)=12’nin katları: ⌊200/12⌋ = 16
İnklüzyon-eksklüzyon ile: 50 + 33 − 16 = 67
Yani 1–200 arasında 4 veya 6’nın katı olan 67 sayı var.

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>İki kümenin birleşimindeki eleman sayısını hesaplarken inklüzyon-eksklüzyon kullanılır: |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.</div>
<common-mistake>Ortak katları çıkarmayı unutmak double count (çift sayma) hatası oluşturur.</common-mistake>

Örnek:

Orta 3 — EKOK uygulaması (birlikte gerçekleşen olay)
Soru: A her 8 dakikada bir, B her 12 dakikada bir zil çalıyor. Başlangıçta birlikte çaldıklarına göre kaç dakikada bir tekrar birlikte çalarlar?
Çözüm:
EKOK(8,12)=24 → Her 24 dakikada bir birlikte çalarlar.

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>Zaman/kronometre problemlerinde EKOK sık kullanılır: olayların aynı anda tekrar olması için ortak kat gerekir.</div>

Örnek:

Zor 1 — En küçük n bulma (tam bölen sayısı şartı)
Soru: Pozitif tam sayı n’nin tam pozitif bölen sayısı 36 ise en küçük n nedir?
Çözüm:
Bölen sayısı formülü: eğer n = p1^a · p2^b · p3^c · ... ise bölen sayısı = (a+1)(b+1)(c+1)·... = 36.
36’ın çarpanları: 36=36, 18·2, 12·3, 9·4, 6·6, 6·3·2, 3·3·4, vb. En küçük n için üsleri (a,b,...) büyükten küçüğe değil, en büyük üsleri en küçük asal sayılara vermeliyiz. Yani üslere tekabül eden (a+1) değerlerini büyükten küçüğe alırken üslerin (a) en büyük olanlarını küçük prime’lere vermek en küçük n’yi verir.
36 = 9·4 → (a+1, b+1) = (9,4) → (a,b)=(8,3) → n ~ 2^8·3^3 = 256·27 = 6912
Ama daha iyi bir dağılım: 36 = 6·3·2 → (5,2,1) üsler → n = 2^5·3^2·5^1 = 32·9·5 = 1440 (daha küçük)
Başka dağılım: 36 = 4·3·3 → (3,2,2) → n = 2^3·3^2·5^2 = 8·9·25 = 1800 (daha büyük)
En küçük çıkan 1440 olduğu için en küçük n = 1440.

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>En küçük sayı için en büyük üsleri en küçük asal sayılara ver; yani üsleri sıralarken 2^en büyük üs, 3^ikinci büyük vs. şeklinde dağıt.</div>
<common-mistake>36=36 tek parça alınıp n=2^35 gibi hesap yapmak yanlış ve çok büyük sonuç verir; faktörleri bölüştürmek gerekir.</common-mistake>

Örnek:

Zor 2 — GCD ve LCM bilgisiyle sayı çifti bulma
Soru: EBOB(a,b)=6 ve EKOK(a,b)=180 olduğuna göre a ve b hangi pozitif tam sayılar olabilir?
Çözüm:
a·b = EBOB·EKOK = 6·180 = 1080.
Yazalım a = 6x, b = 6y olacak şekilde; burada EBOB(x,y)=1 ve x·y = 1080 / 36 = 30 (çünkü 6·6=36).
Yani x·y = 30 ve x,y aralarında asal olmalı.
30’un aralarında asal çarpan eşlemeleri: (1,30), (2,15), (3,10), (5,6). Hepsi aralarında asal mı kontrol edelim:
- (1,30) aralarında asal değil (gcd=1? gcd(1,30)=1, aslında 1 ile her sayı aralarında asaldır) → kabul.
- (2,15) gcd=1 → kabul.
- (3,10) gcd=1 → kabul.
- (5,6) gcd=1 → kabul.
Bunlara göre (a,b) = (6·1,6·30)=(6,180), (12,90), (18,60), (30,36). Bu dört çift uygundur (sıra farketmez).

<div class="special-block tip-block"><strong>İpucu:</strong><br>EBOB ve EKOK verildiğinde a·b ürününü hesapla, sonra ortak çarpanı çıkarıp kalan çarpanları aralarında asal olarak dağıt.</div>
<common-mistake>x·y = 30 bulunduktan sonra x,y’nin aralarında asal olması gerektiğini unutmak yanlış çözüme götürür.</common-mistake>

Örnek:

Zor 3 — EKOK kısıtıyla en küçük sayı bulma
Soru: En küçük pozitif tam n nedir ki EKOK(84, n) = 420 ?
Çözüm:
84 = 2^2·3·7
420 = 2^2·3·5·7
EKOK için n ile 84’ün birleşiminde 5 olması gerekiyor (çünkü 420’de 5 var, 84’te yok). 84 zaten 2^2·3·7 içeriyor; bu yüzden n en az 5 içermeli. 5 dışında ek güçlere gerek yok. Dolayısıyla en küçük n = 5.
Kontrol: EKOK(84,5)=84·5 çünkü ortak asal çarpanı yok = 420.

<common-mistake>EKOK hedefiyle n’nin 420 olması gerekmez; sadece eksik asal çarpanları tamamlamak yeterlidir.</common-mistake>

İpucu:
Genel strateji: EBOB için ortak asallarda minimum üssü, EKOK için maksimum üssü al; verilen koşulu sağlamak için eksik asal faktörleri tamamla.

🤔 İlgili Sorular:

Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
EBOB ve EKOK bilgilerini karmaşık problemlerde nasıl hızlıca kullanırım?
Bir sayının tam bölen sayısı verildiğinde en küçük veya en büyük sayıyı nasıl bulurum?

19:48:04

Öğrenci

Bir sayının tam bölen sayısı verildiğinde en küçük veya en büyük sayıyı nasıl bulurum?

19:48:30

AI Öğretmen

Güzel soru — bunu adım adım ve örneklerle anlatalım. Önce önemli bir nokta:

- Eğer sadece “tam bölen sayısı” (yani pozitif bölen sayısı) verildiyse, o bölen sayısına sahip en büyük tam sayı genelde yoktur (sınırsız sayıda daha büyük sayılar bulabilirsin). Yani “en büyük” diye bir şey söylemek için ek bir sınır (ör. ≤ N, ya da belirli basamak sayısı) gerekir. Ama “en küçük” sayı her zaman vardır ve onu bulmak ilginç bir yöntemle yapılır — ona odaklanalım.

Nasıl buluruz (adım adım):

1) Diyelim ki bir sayının pozitif bölen sayısı d verilmiş: tau(n) = d.
Eğer n = p1^a1 · p2^a2 · ... · pr^ar (asal çarpan gösterimi) ise
tau(n) = (a1+1)(a2+1)...(ar+1) = d.

2) Yani d’yi pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde yazman gerekiyor (her çarpan ≥ 2). Bu yazımlara “çarpanlı bölünme” ya da “multiplicative partition” diyebiliriz. Her çarpan xi için karşılık gelen üs ai = xi − 1 olur.

3) En küçük n’yi elde etmek için şu kuralı kullan: ortaya çıkan üsleri (ai) büyükten küçüğe sırala ve en büyük üsleri en küçük asal sayılara (2, 3, 5, 7, ...) ata. Neden? Çünkü küçük asal sayıların kuvvetleri daha az “büyür”, bu yüzden büyük üsleri 2 ve 3 gibi küçük asalara vermek toplam sayıyı küçültür.

4) Tüm mümkün çarpan ayırmalarını (yani d’nin tüm çarpanlı bölünmelerini) dene, her birinden bir n elde et, en küçüğünü seç. (d küçükse kolay; d büyükse kombinasyonlar çoğalır.)

Örnekler:

Örnek:

Örnek A — d = 12 için en küçük n
d = 12’in çarpanlı bölünmeleri: 12; 6·2; 4·3; 3·2·2.
- 12 → üs = (11) → n = 2^11 = 2048
- 6·2 → üs = (5,1) → üsleri büyükten küçüğe = (5,1) → n = 2^5·3^1 = 32·3 = 96
- 4·3 → üs = (3,2) → n = 2^3·3^2 = 8·9 = 72
- 3·2·2 → üs = (2,1,1) → n = 2^2·3^1·5^1 = 4·3·5 = 60
En küçük n = 60. (Gerçekte 60’ı kontrol edersen: bölen sayısı (2+1)(1+1)(1+1)=3·2·2=12 olur.)

Örnek:

Örnek B — d = 36 için (özet)
36 = 6·3·2 gibi bir ayrışma iyi sonuç verir → üsler = (5,2,1) → n = 2^5·3^2·5^1 = 32·9·5 = 1440.
Diğer ayrışmalar genelde daha büyük sonuç verir; böylece en küçük n = 1440 bulunur.

Örnek:

Küçük özel durumlar:
- d = 1 → n = 1 (1’in yalnızca bir pozitif böleni vardır).
- d = 2 → n küçük en az 2 (asal sayılar): en küçük n = 2.
- d = 3 → n = p^2 formunda; en küçüğü 2^2 = 4.
- d = 4 → seçenekler: p^3 → 8 veya p·q (iki farklı asal) → 2·3 = 6; en küçük 6.

İpucu:
En küçük n’yi bulmak için: d’yi (a1+1)(a2+1)... şeklinde yaz, üsleri ai = (xi−1) al, üsleri büyükten küçüğe sırala ve 2,3,5,... asal sayılara sırayla ata.

Yaygın Hata:
Birçok öğrenci d’yi tek bir çarpan (ör. d kendisi) olarak alıp n = 2^{d−1} ile işi bitirir; bu genelde çok büyük ve çoğu zaman minimal değildir. Her mümkün çarpanlı bölünmeyi kontrol etmelisiniz.

Ek not — “en büyük” soru:
Eğer soruda sadece “tam bölen sayısı d” verilmişse, o d’ye sahip en büyük pozitif tam sayı yoktur (ör. p^{d−1} gibi çok büyük asal kuvvetleri alarak arbitrarily büyük sayılar elde edebilirsin). Bu yüzden “en büyük” sorusu ancak ek kısıtla (örneğin “en küçük 3 basamaklı” veya “≤ 10^6” gibi) anlamlı olur.

İpucu:
Büyük d’ler için çarpanlı bölünmeleri sistematik üretmek gerekebilir; pratikte en küçükleri bulmak için daha küçük çarpanlı dağılımları (çoklu küçük çarpanlar) denemek genelde en iyi sonucu verir.

İstersen birkaç örnek daha çözeyim veya belirli bir d ver, birlikte en küçük n’yi bulalım.

🤔 İlgili Sorular:

Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
d verildiğinde en küçük n’yi hızlıca tahmin etmenin pratik kestirme yolları nelerdir?
Eğer “en büyük” sorusu verilirse hangi ek kısıtlar konulursa problem anlamlı olur?

Oturum Bilgileri

💬 Sohbet