Rasyonel sayılar konusunu detaylı ve anlaşılır şekilde anlatayım.
1) Tanım ve temel fikir
- Rasyonel sayı, iki tam sayının birbirine bölümü şeklinde yazılabilen sayıdır: a/b formunda, burada a (pay) bir tam sayı, b (payda) sıfırdan farklı bir tam sayıdır.
- Yani rasyonel sayı = kesir. Tüm tam sayılar da rasyoneldir çünkü örn. 5 = 5/1, -3 = -3/1 şeklinde yazılabilir.
Örnek:
Örnek: 2/3, -7/4, 5 (=5/1) hepsi rasyonel sayılardır.
2) Ondalık gösterimle ilişki
- Bir sayı ondalık biçimde ya sonlu basamaklıdır (örneğin 0,75) ya da sonsuz tekrarlayan (periyodik) ondalık biçimdedir (örneğin 0,333... veya 0,142857142857...). Bu iki tür ondalık gösterim rasyoneldir.
- Sonsuz ve periyodik olmayan ondalık gösterimler (örnek: π, √2) rasyonel değildir; bunlara irrasyonel denir.
Örnek:
0,75 = 75/100 = 3/4; 0,333... = 1/3.
Yaygın Hata:
Birçok öğrenci tekrarlayan ondalığı rasyonel sayıya dönüştürürken yanlış basamak sayısını kullanır. Tekrarlayan kısmın uzunluğuna dikkat etmek gerekir.
3) Rasyonel sayıları kesire çevirme
- Sonlu ondalıkları kesre çevirmek: Örneğin 0,6 = 6/10 = 3/5; 0,125 = 125/1000 = 1/8.
- Tekrarlayan ondalıkları kesre çevirmek (adım adım): 0.\overline{3} için x = 0.333..., 10x = 3.333..., 10x - x = 3 => 9x = 3 => x = 1/3.
Örnek:
0.\overline{142857} için x = 0.142857142857..., 10^6 x - x = 142857 => 999999x = 142857 => x = 142857/999999 = 1/7.
İpucu:
Tekrarlayan ondalıkta tekrar uzunluğu n ise 10^n ile çarpıp çıkartma yöntemi kullanılır.
4) Kesirleri sadeleştirme ve eşdeğer kesirler
- Bir kesiri sadeleştirmek, pay ve paydayı ortak bölenle bölmektir. Amaç paydanın en küçük tamsayılarla ifade edildiği (tam indirgenmiş) hâli bulmaktır.
Örnek:
18/24 = (divide by 6) = 3/4.
İpucu:
En büyük ortak böleni (EBOB) bulup pay ve paydayı ona bölmek kesiri hızlıca sadeleştirir.
Yaygın Hata:
Pay ve paydayı ayrı ayrı farklı sayılarla bölüp hatalı sonuç üretmek; her iki terimi aynı ortak bölenle bölmek gerekir.
5) İşlemler
- Toplama/Çıkarma: Paydalar eşit değilse paydaları ortak paydaya (genelde EBOB/LCD ile) getirip sonra topla/çıkar.
Örnek:
1/3 + 1/4 = (4/12) + (3/12) = 7/12.
- Çarpma: Payları çarp, paydayı çarp, sonra sadeleştir.
Örnek:
2/3 × 3/5 = (2×3)/(3×5) = 6/15 = 2/5 (3 ile sadeleştirdik).
- Bölme: İkinci kesirin tersini al ve çarp. Bölünmede paydaya 0 olamaz.
Örnek:
(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6.
Yaygın Hata:
Bölürken ikinci kesirin tersini almak yerine yanlışlıkla payları/paydaları doğrudan bölmek sık yapılan hatadır.
6) İşlemlerin özellikleri
- Kapanış: Rasyonel sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve sıfır olmayan rasyonel sayılarla bölme işleminde yine rasyonel kalır (bölmede paydanın sıfır olmaması şartıyla).
- Değişme, birleşme ve dağılım yasaları rasyonel sayılar için geçerlidir.
- Sıralama: İki rasyonel sayıyı karşılaştırmak için onları ortak paydaya getir veya ondalık biçime çevir.
İpucu:
Negatif işaretin yerini değiştirmek: -a/b = a/(-b) = -(a/b). Her zaman tek bir negatif işaret yeterlidir.
7) Sayı doğrusunda rasyonel sayılar ve yoğunluk
- Her iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı vardır (ör. (a+b)/2). Buna yoğunluk (density) denir.
Örnek:
1/2 ve 3/4 arasında (1/2 + 3/4)/2 = 5/8 gibi başka rasyoneller bulunur.
8) Özel durumlar ve kurallar
- Payda 0 olamaz: a/0 tanımsızdır. Bu en önemli kısıt.
- Sıfırın kendisi rasyoneldir: 0 = 0/1.
- Bir kesir her zaman farklı eşdeğer yazımlara sahip olabilir (ör. 1/2 = 2/4 = 50/100) ama sadeleştirilmiş (en küçük payda) hali tekildir.
Yaygın Hata:
Bazı öğrenciler 0/0 ifadesini de rasyonel sanır; 0/0 belirsizdir, tanımsızdır.
9) Uygulamalar — nerelerde kullanılır?
- Kesirler ve rasyoneller günlük hayatta oran, oranlama, parasal işlemler, ölçü birimleri, tarifler, yüzdeler ve olasılık hesaplarında sık kullanılır.
İpucu:
Kesirleri ondalığa veya yüzdeye çevirme pratik hesaplamaları kolaylaştırır (ör. 1/4 = 0,25 = %25).
Özet kısa hatırlatma:
- Rasyonel = a/b (b ≠ 0).
- Ondalık gösterimde sonlu veya periyodik olan sayılar rasyoneldir.
- İşlemler: toplama için paydaları eşitle, çarpma için pay×pay/payda×payda, bölme için ikinci kesirin tersini çarp.
- Payda 0 olamaz, sadeleştir ve ortak payda kullan.
🤔 İlgili Sorular:- Bu bilgi gerçek hayatta ne işime yarayacak?
- Rasyonel olmayan sayılar (irrasyonel) ile rasyonel sayıların farkı nedir?
- Kesirleri sadeleştirme ve paydaları eşitleme konusunda pratik yollar nelerdir?