Hap Bilgi Oturumu

Merhaba, bana Matematik ile ilgili ne sormak istersin?

Tamam — karekökleri birlikte basitçe anlayalım.

1) Temel fikir
- Bir sayının karekökü (√ şeklindeki işaret) o sayıyı kendisiyle çarptığımızda ortaya çıkan sayıdır. Yani √9 = 3 çünkü 3 × 3 = 9.
- Matematikte √a ifadesi “a sayısının karekökü” demektir ve genelde pozitif (veya sıfır) olan “ana karekök”ü gösterir.



2) Bazı bilmeniz gereken kolay kare sayılar (hafızaya alın)
1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100.
Bunlar, karekökleri hızlıca bulmanızı sağlar: √25 = 5, √81 = 9 gibi.



3) Mükemmel kare olmayan sayılar
- Eğer sayı tam kare değilse (ör. 20), karekök irrasyonel olur ve tam sayı çıkmaz. O zaman kaç ile kaç arasında olduğunu buluruz:
√16 = 4 ve √25 = 5 olduğuna göre √20, 4 ile 5 arasındadır (yaklaşık 4.47).
- Karekökleri sadeleştirebilirsiniz: √50 = √(25·2) = √25 · √2 = 5√2.



4) Önemli kurallar ve tuzaklar
- √(a·b) = √a · √b, fakat √(a + b) ≠ √a + √b (toplama için bu kural yoktur).
- Denklemlerde x² = 9 ise x = ±3 olur; ama √9 = 3’tür. Yani karekök işareti pozitif sonucu gösterir.
- Ayrıca √(a²) = |a| (mutlaka mutlak değer): örn. √((-3)²) = √9 = 3 = |−3|.



5) Nasıl pratik yapılır (kısa yöntemler)
- Önce sayının tam kare olup olmadığına bak: eğer evet, karekök direkt çıkar.
- Değilse en yakın küçük ve büyük tam kareleri bulun; böylece hangi iki tam sayı arasında olduğunu görürsünüz.
- Eğer sadeleşebilecek faktör varsa (ör. 18 = 9·2), karekökü faktörlere ayırarak sadeleştirin: √18 = 3√2.

Umarım şimdi karekökler daha net oldu. İstersen hangi kısım kafa karıştırıyor, o kısmı daha da açabilirim.

Güzel soru — tabanları aynı üsleri toplarken üsleri doğrudan toplayamayız. Bunu en kolay ortak çarpan (faktör) yöntemini kullanarak yaparız.

Örnekle başlayalım:


Genel kural (kısa formül):
- a^m + a^n ifadesinde m ile n farklıysa, küçük olan üssü ortak çarpan olarak al:
a^m + a^n = a^{min(m,n)} · (1 + a^{|m-n|}).
- Eğer m = n ise: a^m + a^m = 2 · a^m.



Başka örnekler:


Bir de farkına varılması gereken nokta:
- Üslü ifadeleri toplarken üsleri toplamak yanlış olur. (2³ + 2⁴ ≠ 2^{3+4} = 2⁷)
- Çarpma durumunda ise üsler toplanır: 2³ · 2⁴ = 2^{3+4} = 2⁷ = 128. Yani toplama ile çarpma kuralları farklıdır.



Umarım şimdi daha anlaşılır oldu.

Tamam, daha basit ve adım adım anlatalım — hiçbir şey varsaymadan yavaş yavaş gidelim.

Kısa cevap: Aynı tabana sahip iki üslü sayıyı toplarken üsleri direkt toplayamazsın. Önce ortak çarpanı (küçük olan üslü terimi) çıkartırsın.

Adım adım uygulama (2³ + 2⁴ örneği):
1) 2³ = 8 ve 2⁴ = 16 (bunu bilmek zorunda değilsin ama sayıları görebilmek yardımcı olur).
2) Büyük olanı, küçük olanın kaç katı olduğunu yaz: 2⁴ = 2³ · 2^{4−3} = 2³ · 2¹ = 2³ · 2. Yani 16 = 8·2.
3) Ortak çarpanı (2³) dışarı çıkar: 2³ + 2⁴ = 2³ + 2³·2 = 2³(1 + 2).
4) Parantezi hesapla: 1 + 2 = 3, sonra 2³·3 = 8·3 = 24. Sonuç 24.



Genel kural (çok faydalı):
a^m + a^n = a^{min(m,n)} · (1 + a^{|m−n|})
Yani küçük üssü ortak çarpan al, içeride kalan 1 ile farkın üsünü topla.

Başka bir örnek:


Eşit üsler olursa:
- a^m + a^m = 2·a^m (ör. 2³ + 2³ = 2·8 = 16).

Neden üsleri toplayamayız? Kısaca:
- Toplama ile çarpma farklı işlemlerdir. 2³ + 2⁴ = 24 iken 2^{3+4} = 2⁷ = 128 — ikisi aynı değil. Üsleri toplamak yalnızca çarpma durumunda geçerlidir: a^m · a^n = a^{m+n}.





Umarım bu adımlar daha açıklayıcı oldu. Aşağıdaki sorular, konuyu düşünmene yardımcı olur.