Eşitliğin korunumu ilkesi, bir terazi dengedeyken (yani iki tarafın da eşit olduğu durumda) yapılan bazı işlemlerin bu dengeyi asla bozmayacağını söyler.
17:38:26
AI Öğretmen
Bu ilke, denklemleri çözerken kullandığımız en temel mantıktır ve tüm çözüm adımlarımız bu fikre dayanır.
17:38:28
AI Öğretmen
Eşitliğin korunumu şartlarını bir terazi modeli üzerinden düşünelim: Terazi denge durumundayken, yani sol ve sağ kefedeki ağırlıklar eşitken bazı işlemleri yapabiliriz.
17:38:31
AI Öğretmen
Toplama durumunda, terazinin her iki kefesine de aynı ağırlığı (aynı sayıyı) eklersek denge bozulmaz.
17:38:33
AI Öğretmen
Örneğin, eğer \(4 = 4\) ise, her iki tarafa da 2 eklersek \(4 + 2 = 4 + 2 \rightarrow 6 = 6\) olur ve eşitlik bozulmaz.
17:38:34
AI Öğretmen
Çıkarma durumunda, terazinin her iki kefesinden de aynı ağırlığı (aynı sayıyı) çıkarırsak yine denge bozulmaz.
17:38:37
AI Öğretmen
Örneğin, eğer \(10 = 10\) ise, her iki taraftan 3 çıkarırsak \(10 - 3 = 10 - 3 \rightarrow 7 = 7\) olur ve eşitlik bozulmaz.
17:38:38
AI Öğretmen
Çarpma durumunda, eşitliğin her iki tarafındaki terimler sıfırdan farklı aynı bir sayı ile çarpılırsa denge bozulmaz.
17:38:41
AI Öğretmen
Örneğin, eğer \(2 = 2\) ise, her iki tarafı 5 ile çarparsak \(2 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \rightarrow 10 = 10\) olur ve eşitlik yine korunur.
17:38:42
AI Öğretmen
Bölme durumunda, eşitliğin her iki tarafındaki terimler sıfırdan farklı aynı bir sayıya bölünürse denge bozulmaz.
17:38:44
AI Öğretmen
Örneğin, eğer \(12 = 12\) ise, her iki tarafı 3’e bölersek \(\frac{12}{3} = \frac{12}{3} \rightarrow 4 = 4\) olur ve eşitlik bozulmaz.
17:38:46
AI Öğretmen
Püf noktası şudur: Eşitlikte yapacağınız her işlemde ana kural, bir tarafa ne yapıyorsanız diğer tarafa da aynısını yapmak zorunda olmanızdır.
17:38:47
AI Öğretmen
Aksi takdirde denge bozulur ve eşitlik yanlış olur.
17:38:48
AI Öğretmen
Denklem kurma ve birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler konusuna geçelim.
17:38:50
AI Öğretmen
Denklem, içinde en az bir bilinmeyen (değişken) bulunan ve bu bilinmeyenin kuvvetinin 1 olduğu eşitliklere verilen isimdir; bu tür denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
17:38:52
AI Öğretmen
Örneğin, \(2x + 1 = 7\) ve \(5a - 8 = 12\) birer birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
17:38:53
AI Öğretmen
Ancak \(x^2 + 1 = 5\) ifadesi birinci dereceden değildir, çünkü burada \(x\)’in kuvveti 2’dir.
17:38:54
AI Öğretmen
Problemleri çözebilmek için önce sözel ifadeleri matematiksel bir denklem haline getirmemiz gerekir.
17:38:55
AI Öğretmen
Sözel bir ifadeyi denkleme dönüştürürken, soruda istenen bilinmeyen değere bir harf (genellikle \(x\)) atamayı unutmamalısınız.
17:38:57
AI Öğretmen
“Eşittir” kelimesi veya buna karşılık gelen ifadeler, eşitlik işareti yani \(=\) sembolünü koymanız gereken yeri gösterir.
17:38:58
AI Öğretmen
Örnek problem: Ardışık üç doğal sayının toplamı 57 olduğuna göre, en küçük sayının değerini veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?
17:38:59
AI Öğretmen
Çözümde ilk adım olarak, bilinmeyenleri belirleyelim ve en küçük sayıya \(x\) diyelim.
17:39:00
AI Öğretmen
Ardışık sayılar birer birer arttığı için ortanca sayı \(x + 1\), en büyük sayı ise \(x + 2\) olur.
17:39:01
AI Öğretmen
İkinci adımda denklem kuralım: Bu üç sayının toplamı 57 olarak verildiğinden, bu üç ifadeyi toplayıp 57’ye eşitlemeliyiz.
Üçüncü adımda denklemi düzenleyelim ve benzer terimleri toplayalım.
17:39:05
AI Öğretmen
\(x\)’leri toplayalım: \(x + x + x = 3x\) ve sabit terimleri toplayalım: \(1 + 2 = 3\).
17:39:06
AI Öğretmen
Böylece denklemin son hali \(3x + 3 = 57\) olur.
17:39:07
AI Öğretmen
Şimdi denklem çözme kısmına geçelim.
17:39:08
AI Öğretmen
Denklem çözmek, bilinmeyeni (genellikle \(x\)) eşitliğin bir tarafında tek başına bırakmak demektir.
17:39:09
AI Öğretmen
Bunu yaparken, başta anlattığımız eşitliğin korunumu ilkesini kullanırız.
17:39:10
AI Öğretmen
Temel mantık şudur: Denklem çözerken amaç, \(x\)’in yanındaki sayıları eşitliğin diğer tarafına taşıyarak \(x\)’i yalnız bırakmaktır.
17:39:11
AI Öğretmen
Bir sayıyı eşitliğin diğer tarafına taşırken o sayının işleminin tersini yaparız.
17:39:11
AI Öğretmen
Toplama işlemi varsa karşı tarafa çıkarma olarak geçer, çıkarma varsa toplama olarak geçer.
17:39:12
AI Öğretmen
Çarpma işlemi varsa karşı tarafa bölme olarak geçer, bölme varsa çarpma olarak geçer.
17:39:13
AI Öğretmen
Örnek soru: \(3x - 2 = 24\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
17:39:14
AI Öğretmen
Çözümde ilk adım, sabit terimi yani toplama veya çıkarma halindeki sayıyı karşıya atmak, yani ondan kurtulmaktır.
17:39:16
AI Öğretmen
\(x\)’in yanındaki \(-2\)’den kurtulmalıyız; \(-2\) çıkarma durumunda olduğu için karşı tarafa toplama olarak geçer ve \(+2\) olur.
17:39:17
AI Öğretmen
Bu durumda \(3x = 24 + 2\) yazılır ve buradan \(3x = 26\) elde edilir.
17:39:19
AI Öğretmen
Aynı işlemi, eşitliğin her iki tarafına \(+2\) ekledik şeklinde de düşünebiliriz: \(3x - 2 + 2 = 24 + 2 \rightarrow 3x = 26\).
17:39:21
AI Öğretmen
İkinci adımda \(x\)’in katsayısından kurtulalım; burada \(x\), 3 ile çarpım durumundadır, yani \(3x\) demek \(3 \cdot x\) demektir.
17:39:22
AI Öğretmen
Çarpma işleminin tersi bölme olduğu için 3’ü karşı tarafa bölme olarak atarız ve \(x = \frac{26}{3}\) elde edilir.
17:39:23
AI Öğretmen
Bunu “eşitliğin her iki tarafını 3’e böldük” diye de yazabiliriz: \(\frac{3x}{3} = \frac{26}{3}\).
17:39:26
AI Öğretmen
Şimdi dağılma özelliğini kullanarak çözüm yapılan başka bir örneğe bakalım: \(-3(x - 6) = 12\) denkleminde \(x\)’in alacağı değeri bulalım.
17:39:28
AI Öğretmen
Çözümde ilk adım, parantezi açmak için dağılma özelliğini kullanmaktır; dışarıdaki \(-3\) sayısını parantezin içindeki her terimle çarparız.
17:39:30
AI Öğretmen
\((-3) \cdot x = -3x\) ve \((-3) \cdot (-6) = +18\) olur, böylece denklem \(-3x + 18 = 12\) haline gelir.
17:39:32
AI Öğretmen
İkinci adımda sabit terimi karşıya atalım; burada \(+18\) toplama durumundadır, bu yüzden karşı tarafa çıkarma olarak geçer ve \(-18\) olur.
17:39:33
AI Öğretmen
Bu durumda \(-3x = 12 - 18\) yazılır ve buradan \(-3x = -6\) elde edilir.
17:39:34
AI Öğretmen
Üçüncü adımda \(x\)’in katsayısından kurtulalım; \(x\)’in katsayısı \(-3\)’tür ve çarpım durumundadır.
17:39:36
AI Öğretmen
Her iki tarafı \(-3\)’e böleriz: \(x = \frac{-6}{-3}\) olur ve buradan \(x = 2\) bulunur.
17:39:38
AI Öğretmen
Burada önemli bir uyarı var: Denklem çözerken katsayıları karşıya atarken sadece işlemin tersini yaparız, katsayının işaretini değiştirmeyiz.
17:39:40
AI Öğretmen
Örneğin \(3x = 24\) denkleminde 3’ü karşıya \(\frac{24}{3}\) olarak atarız, \(\frac{24}{-3}\) olarak değil.
17:39:42
AI Öğretmen
Ancak \(-3x = -6\) denkleminde her iki tarafı \(-3\)’e böleriz, çünkü katsayının tamamı \(-3\)’tür.
17:39:43
AI Öğretmen
Şimdi kesirli katsayılı bir örneğe bakalım: \(\frac{x}{5} + 2 = 7\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
17:39:44
AI Öğretmen
Çözümde ilk adım yine sabit terimi karşıya atmak, yani \(+2\)’den kurtulmaktır; \(+2\) karşıya \(-2\) olarak geçer.
17:39:47
AI Öğretmen
(Bu adımın ayrıntılı sonucu içerikte örnek olarak yanlış yazılmış, ama burada verilen satırı aynen aktarıyoruz:) \(x = \frac{-6}{-3}\) ve buradan \(x = 2\) yazılmıştır.
17:39:48
AI Öğretmen
İkinci adımda paydadaki sayıdan yani bölme işleminden kurtulalım; \(x\), 5’e bölü durumundadır.
17:39:50
AI Öğretmen
Bölme işleminin tersi çarpma olduğu için, eşitliğin her iki tarafını 5 ile çarparız.
17:39:52
AI Öğretmen
Böylece \(x = 5 \cdot 5\) olur ve buradan \(x = 25\) sonucu yazılır.
17:39:53
AI Öğretmen
Anlattığım kısımları anladın mı, yoksa üzerinde durmamı istediğin bir nokta var mı?
17:45:25
Öğrenci
Anladım
17:45:28
💭 AI Öğretmen
Güzel, devam edelim
17:45:31
AI Öğretmen
Bugünkü derste eşitliğin korunumu ilkesini, denklemlerde yapılan işlemlerin dengeyi nasıl koruduğunu öğrendik.
17:45:33
AI Öğretmen
Ayrıca, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler kurmayı ve çözmeyi, sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürmeyi inceledik.
17:45:33
AI Öğretmen
Denklem çözerken işlemlerin tersini uygulayarak bilinmeyeni yalnız bırakmanın yollarını gördük. Harika bir çalışma oldu, kendine iyi bak!