Bu video, 6. sınıf matematik dersinde kesirlerle toplama ve çıkarma işlemlerini öğretmektedir.
Paydalar eşit olduğunda, ortak payda aynen yazılır ve paylar toplanır veya çıkarılır.
Paydalar farklı olduğunda, öncelikle paydaların en küçük ortak katını (EKOK) bulunarak kesirler genişletilir ve paydalar eşit hale getirilir. Ardından paydalar eşit olduğunda uygulanan kural takip edilir.
Tam sayılı kesirlerle toplama veya çıkarma yapmadan önce, bu kesirler bileşik kesre çevrilmelidir. Sonrasında paydalar eşitlenir ve işlem tamamlanır. İşlem sonucu tekrar tam sayılı kesre dönüştürülebilir veya sadeleştirilebilir.
Bir doğal sayı ile bir kesri toplarken veya çıkarırken, doğal sayının altına görünmeyen "1" paydası yazılır ve ardından paydalar eşitlenir.
Dikdörtgenin çevre uzunluğu gibi geometrik problemlerde kesirlerle toplama işlemi kullanılır. Kenar uzunlukları toplanırken yukarıdaki kurallar uygulanır.
Modellenmiş kesirlerle işlem yaparken, ilk olarak modelin kesir karşılığı yazılır. Ardından, mümkünse kesir sadeleştirilir ve paydalar eşitlenerek işlem yapılır.
Birden fazla kesrin toplamının belirli bir değere (örneğin 1'e) eşit olduğu tablo gibi sorularda, bilinen kesirler toplanarak eksik kesir bulunur. Tam kesir (1) ifadesi için, paydanın kendisiyle eşit olduğu bir kesir kullanılır (örn. 15/15). Kesirler bulunduktan sonra istenen sıralama veya karşılaştırma kolayca yapılabilir.
Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemleri yaparken dikkat etmemiz gereken temel kurallar vardır. Bu kurallara uyulduğunda işlemler oldukça basittir.
Kesirlerle toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için *en önemli şart*, kesirlerin paydalarının eşit olmasıdır. Paydalar eşitse işlem çok kolaydır.
Örnek: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4}$
Paydalar eşit (4). Ortak paydayı aynen yazarız. Payları (1 ve 2) toplarız.
$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$
Örnek: $\frac{18}{7} - \frac{4}{7}$
Paydalar eşit (7). Ortak paydayı aynen yazarız. Payları (18 ve 4) çıkarırız.
$\frac{18}{7} - \frac{4}{7} = \frac{18-4}{7} = \frac{14}{7}$
Bu kesir sadeleştirilebilir: $\frac{14}{7} = 2$.
Paydalar eşitken, paydaları da kendi aralarında çıkarmaya çalışmak yanlış bir yaklaşımdır. Örneğin, $\frac{18}{7} - \frac{4}{7}$ işleminde paydaları çıkarıp $7-7=0$ yazılmaz. Payda her zaman aynı kalır.
Paydalar eşit değilse, işlemi yapmadan önce paydaları eşitlememiz gerekir. Bunun için paydaların en küçük ortak katını (EKOK) buluruz ve kesirleri bu ortak paydaya genişletiriz.
1. İşlem yapılacak kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını (EKOK) bulun.
2. Her bir kesri, paydasını EKOK'a eşitleyecek şekilde uygun bir sayıyla genişletin (hem payı hem de paydayı aynı sayıyla çarpın).
3. Paydalar eşitlendikten sonra, yukarıdaki (paydalar eşit iken) toplama veya çıkarma kurallarını uygulayın.
Örnek: $\frac{2}{4} + \frac{1}{3}$
1. Paydalar 4 ve 3. Bu sayıların EKOK'u 12'dir.
2. $\frac{2}{4}$ kesrini 3 ile genişletiriz: $\frac{2 \times 3}{4 \times 3} = \frac{6}{12}$
$\frac{1}{3}$ kesrini 4 ile genişletiriz: $\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
3. Şimdi paydalar eşitlendi: $\frac{6}{12} + \frac{4}{12} = \frac{6+4}{12} = \frac{10}{12}$
Çarpım tablosunu iyi bilmek, payda eşitleme için gerekli olan sayıları hızlıca bulmanızı ve dolayısıyla işlemleri daha hızlı yapmanızı sağlar.
Birden fazla kesirle işlem yaparken de mantık aynıdır. Tüm kesirlerin paydaları eşitlenerek tek bir payda altında işlem yapılır.
Örnek: $\frac{5}{15} + \frac{3}{10} - \frac{1}{5}$
1. Paydalar 15, 10 ve 5. Bu sayıların EKOK'u 30'dur.
2. Kesirleri genişletelim:
$\frac{5}{15}$ kesrini 2 ile geliştiririz: $\frac{5 \times 2}{15 \times 2} = \frac{10}{30}$
$\frac{3}{10}$ kesrini 3 ile genişletiriz: $\frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30}$
$\frac{1}{5}$ kesrini 6 ile genişletiriz: $\frac{1 \times 6}{5 \times 6} = \frac{6}{30}$
3. Şimdi işlemi yapalım: $\frac{10}{30} + \frac{9}{30} - \frac{6}{30} = \frac{10+9-6}{30} = \frac{19-6}{30} = \frac{13}{30}$
Tam sayılı kesirlerle toplama veya çıkarma işlemi yapmadan önce, bu kesirleri bileşik kesre çevirerek işlemleri kolaylaştırabilirsiniz.
Örnek: $3\frac{1}{6} + 5\frac{1}{3}$
1. Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim:
$3\frac{1}{6} = \frac{(6 \times 3) + 1}{6} = \frac{18+1}{6} = \frac{19}{6}$
$5\frac{1}{3} = \frac{(3 \times 5) + 1}{3} = \frac{15+1}{3} = \frac{16}{3}$
2. Şimdi paydaları eşitleyelim. Paydalar 6 ve 3. EKOK'ları 6'dır.
$\frac{16}{3}$ kesrini 2 ile genişletiriz: $\frac{16 \times 2}{3 \times 2} = \frac{32}{6}$
3. İşlemi yapalım: $\frac{19}{6} + \frac{32}{6} = \frac{19+32}{6} = \frac{51}{6}$
4. Sonucu tekrar tam sayılı kesre çevirebilir veya sadeleştirebiliriz. $51 \div 6 = 8$ kalan 3. Yani $8\frac{3}{6}$. Bu kesir de sadeleştirilebilir: $8\frac{1}{2}$.
Bir doğal sayı ile bir kesri toplama veya çıkarma işlemi yaparken, doğal sayının paydasında her zaman görünmeyen bir "1" olduğunu unutmayın. Bu şekilde doğal sayıyı bir kesre dönüştürüp payda eşitleme yapabilirsiniz.
Örnek: $4 - \frac{2}{7}$
1. Doğal sayıyı kesir olarak ifade edelim: $4 = \frac{4}{1}$
2. Şimdi paydaları eşitleyelim. Paydalar 1 ve 7. EKOK'ları 7'dir.
$\frac{4}{1}$ kesrini 7 ile genişletiriz: $\frac{4 \times 7}{1 \times 7} = \frac{28}{7}$
3. İşlemi yapalım: $\frac{28}{7} - \frac{2}{7} = \frac{28-2}{7} = \frac{26}{7}$
Doğal sayı ile bir kesrin toplamı/çıkarımı için pratik bir yol vardır:
Örnek: $4 - \frac{2}{7}$
Pratik yöntemle: $\frac{(4 \times 7) - 2}{7} = \frac{28 - 2}{7} = \frac{26}{7}$
Bu yöntem, bileşik kesre çevirme mantığına benzer ve tam sayılı kesir ile doğal sayı arasındaki farkı kapatır.
Geometrik şekillerin (örneğin dikdörtgen) çevre uzunluğunu bulmak gibi problemler, kesirlerle toplama ve çıkarma becerilerini gerektirebilir. Dikdörtgenin çevresi iki uzun kenar ile iki kısa kenarın toplamıdır.
Örnek: Kısa kenarı $\frac{4}{5}$ olan, uzun kenarı $1\frac{1}{10}$ olan dikdörtgenin çevre uzunluğu.
1. Kısa kenarları toplayalım: $\frac{4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$
(Videonun örneğinde paydalar 10 olduğu için $\frac{4}{5}$ kesri 2 ile genişletilerek $\frac{8}{10}$ olarak alınmıştır.)
2. Uzun kenarları toplayalım: $1\frac{1}{10} + 1\frac{1}{10}$
Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim: $1\frac{1}{10} = \frac{(10 \times 1) + 1}{10} = \frac{11}{10}$
$\frac{11}{10} + \frac{11}{10} = \frac{22}{10}$
3. Tüm kenar uzunluklarını toplayalım: $\frac{8}{10} + \frac{22}{10} = \frac{30}{10}$
Bu kesir sadeleştirildiğinde: $\frac{30}{10} = 3$ birim olur.
Görsel modeller (şekillerin taranmış kısımları) kesirleri temsil eder. İşlemleri yapmadan önce modelin hangi kesri ifade ettiğini doğru bir şekilde yazmak önemlidir.
Örnek: Bir modelde 10 kutucuktan 5'i taranmış ($\frac{5}{10}$), diğer modelde 8 kutucuktan 3'ü taranmış ($\frac{3}{8}$). Bu iki kesir arasında çıkarma işlemi yapınız.
1. Modelleri kesir olarak yazalım: $\frac{5}{10}$ ve $\frac{3}{8}$
2. İlk kesri sadeleştirelim: $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ (Her ikisi de 5 ile sadeleşir.)
3. Şimdi işlemi yapalım: $\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$
4. Paydaları eşitleyelim. Paydalar 2 ve 8. EKOK'ları 8'dir.
$\frac{1}{2}$ kesrini 4 ile genişletelim: $\frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}$
5. İşlemi yapalım: $\frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4-3}{8} = \frac{1}{8}$
Tablolarda belirli satır veya sütun toplamlının belirli bir değere (genellikle 1 tam) eşit olduğu durumlarda eksik kesirleri bulma soruları, toplama ve çıkarma becerilerini bir arada kullanmayı gerektirir.
Örnek: Bir tabloda her satır ve sütunda bulunan üç kesrin toplamı 1'e eşittir.
Bir satırda $\frac{5}{15}$, $\frac{7}{15}$ ve bilinmeyen bir kesir (A) olsun.
1. Bilinen kesirleri toplayalım: $\frac{5}{15} + \frac{7}{15} = \frac{12}{15}$
2. Toplamın 1 tam olması gerektiği için, 1 tamı $\frac{15}{15}$ olarak ifade ederiz.
3. A'yı bulmak için çıkarma işlemi yaparız: $\frac{15}{15} - \frac{12}{15} = \frac{3}{15}$
Demek ki $A = \frac{3}{15}$.
4. Benzer şekilde diğer bilinmeyenleri bulmaya devam edilir.
Bu tür sorularda kesirleri karşılaştırırken, yine paydaları eşitse paylarına bakarak veya farklı paydalara sahiplerse paydaları eşitleyerek karşılaştırma yapın. Kesirleri büyükten küçüğe sıralamak için tüm kesirlerin paydalarının eşitlenmesi en güvenli yöntemdir.