Bu video, 6. sınıf matematik dersinde kesirlerle toplama ve çıkarma işlemlerini öğretmektedir.
Paydalar Eşitse: Paydalar Farklıysa:
Paydalar eşit olduğunda, ortak payda aynen yazılır ve paylar toplanır veya çıkarılır.
<example> 1/4 + 2/4 = 3/4; 18/7 - 4/7 = 14/7 = 2 </example>
<common-mistake> Paydaları da toplamayın veya çıkarmayın. Örneğin, 7/7 - 7/7 = 0/7 değildir, ortak payda 7 kalır. </common-mistake>
Paydalar farklı olduğunda, öncelikle paydaların en küçük ortak katını (EKOK) bulunarak kesirler genişletilir ve paydalar eşit hale getirilir. Ardından paydalar eşit olduğunda uygulanan kural takip edilir.
<tip>Çarpım tablosunu iyi bilmek, paydaları eşitleme sürecini hızlandırır.</tip>
<example> 2/4 + 1/3 işleminde, 4 ve 3'ün EKOK'u 12'dir. Kesirler sırasıyla 3 ve 4 ile genişletilir: (3\2)/(3\4) + (4\1)/(4\3) = 6/12 + 4/12 = 10/12. </example>Özel Kesir Durumları
Tam Sayılı Kesirlerle İşlemler:
Tam sayılı kesirlerle toplama veya çıkarma yapmadan önce, bu kesirler bileşik kesre çevrilmelidir. Sonrasında paydalar eşitlenir ve işlem tamamlanır. İşlem sonucu tekrar tam sayılı kesre dönüştürülebilir veya sadeleştirilebilir.
<example> 1 tam 1/6 + 5 tam 1/3 işlemi için, önce 19/6 + 16/3 bileşik kesirlerine dönüştürülür. Daha sonra paydalar 6'da eşitlenerek 19/6 + 32/6 = 51/6 bulunur. Bu da 8 tam 3/6 veya sadeleştirilmiş haliyle 8 tam 1/2'dir. </example>
Doğal Sayı ve Kesir Arasında İşlemler:
Bir doğal sayı ile bir kesri toplarken veya çıkarırken, doğal sayının altına görünmeyen "1" paydası yazılır ve ardından paydalar eşitlenir.
<tip>Daha pratik bir yöntem olarak: doğal sayı ile kesrin paydası çarpılır, toplama veya çıkarma işlemine göre pay eklenir veya çıkarılır, payda ise aynı kalır.</tip>
<example> 4 - 2/7 işlemi için, 4 sayısının paydasına 1 yazılır (4/1). Paydalar 7'de eşitlenirse 28/7 - 2/7 = 26/7 olur. Pratik yöntemle ise (7\4 - 2)/7 = 26/7 bulunur. </example>
Geometrik Şekillerde Uygulama:
Dikdörtgenin çevre uzunluğu gibi geometrik problemlerde kesirlerle toplama işlemi kullanılır. Kenar uzunlukları toplanırken yukarıdaki kurallar uygulanır.
Modelleme ile Kesir İşlemleri:
Modellenmiş kesirlerle işlem yaparken, ilk olarak modelin kesir karşılığı yazılır. Ardından, mümkünse kesir sadeleştirilir ve paydalar eşitlenerek işlem yapılır.
Karmaşık Sorular:
Birden fazla kesrin toplamının belirli bir değere (örneğin 1'e) eşit olduğu tablo gibi sorularda, bilinen kesirler toplanarak eksik kesir bulunur. Tam kesir (1) ifadesi için, paydanın kendisiyle eşit olduğu bir kesir kullanılır (örn. 15/15). Kesirler bulunduktan sonra istenen sıralama veya karşılaştırma kolayca yapılabilir.
<tip>Paydaları eşit kesirleri sıralarken, payı büyük olan kesir daha büyüktür.</tip>
Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemleri yaparken dikkat etmemiz gereken temel kurallar vardır. Bu kurallara uyulduğunda işlemler oldukça basittir.
Kesirlerle toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için en önemli şart, kesirlerin paydalarının eşit olmasıdır. Paydalar eşitse işlem çok kolaydır.
Toplama: Ortak payda aynen yazılır, paylar toplanır.
<example>
Örnek: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4}$
Paydalar eşit (4). Ortak paydayı aynen yazarız. Payları (1 ve 2) toplarız.
$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$
</example>
Çıkarma: Ortak payda aynen yazılır, paylar arasındaki çıkarma işlemi yapılır.
<example>
Örnek: $\frac{18}{7} - \frac{4}{7}$
Paydalar eşit (7). Ortak paydayı aynen yazarız. Payları (18 ve 4) çıkarırız.
$\frac{18}{7} - \frac{4}{7} = \frac{18-4}{7} = \frac{14}{7}$
Bu kesir sadeleştirilebilir: $\frac{14}{7} = 2$.
</example>
<common-mistake>
Paydalar eşitken, paydaları da kendi aralarında çıkarmaya çalışmak yanlış bir yaklaşımdır. Örneğin, $\frac{18}{7} - \frac{4}{7}$ işleminde paydaları çıkarıp $7-7=0$ yazılmaz. Payda her zaman aynı kalır.
</common-mistake>
Paydalar eşit değilse, işlemi yapmadan önce paydaları eşitlememiz gerekir. Bunun için paydaların en küçük ortak katını (EKOK) buluruz ve kesirleri bu ortak paydaya genişletiriz.
Payda Eşitleme Yöntemi:
1. İşlem yapılacak kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını (EKOK) bulun.
2. Her bir kesri, paydasını EKOK'a eşitleyecek şekilde uygun bir sayıyla genişletin (hem payı hem de paydayı aynı sayıyla çarpın).
3. Paydalar eşitlendikten sonra, yukarıdaki (paydalar eşit iken) toplama veya çıkarma kurallarını uygulayın.
<example>
Örnek: $\frac{2}{4} + \frac{1}{3}$
1. Paydalar 4 ve 3. Bu sayıların EKOK'u 12'dir.
2. $\frac{2}{4}$ kesrini 3 ile genişletiriz: $\frac{2 \times 3}{4 \times 3} = \frac{6}{12}$
$\frac{1}{3}$ kesrini 4 ile genişletiriz: $\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
3. Şimdi paydalar eşitlendi: $\frac{6}{12} + \frac{4}{12} = \frac{6+4}{12} = \frac{10}{12}$
</example>
<tip>
Çarpım tablosunu iyi bilmek, payda eşitleme için gerekli olan sayıları hızlıca bulmanızı ve dolayısıyla işlemleri daha hızlı yapmanızı sağlar.
</tip>
Birden fazla kesirle işlem yaparken de mantık aynıdır. Tüm kesirlerin paydaları eşitlenerek tek bir payda altında işlem yapılır.
<example>
Örnek: $\frac{5}{15} + \frac{3}{10} - \frac{1}{5}$
1. Paydalar 15, 10 ve 5. Bu sayıların EKOK'u 30'dur.
2. Kesirleri genişletelim:
$\frac{5}{15}$ kesrini 2 ile geliştiririz: $\frac{5 \times 2}{15 \times 2} = \frac{10}{30}$
$\frac{3}{10}$ kesrini 3 ile genişletiriz: $\frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30}$
$\frac{1}{5}$ kesrini 6 ile genişletiriz: $\frac{1 \times 6}{5 \times 6} = \frac{6}{30}$
3. Şimdi işlemi yapalım: $\frac{10}{30} + \frac{9}{30} - \frac{6}{30} = \frac{10+9-6}{30} = \frac{19-6}{30} = \frac{13}{30}$
</example>
Tam sayılı kesirlerle toplama veya çıkarma işlemi yapmadan önce, bu kesirleri bileşik kesre çevirerek işlemleri kolaylaştırabilirsiniz.
Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme: Tam sayı ile paydayı çarpın ve çıkan sonuca payı ekleyin. Payda aynı kalır.
<example>
Örnek: $3\frac{1}{6} + 5\frac{1}{3}$
1. Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim:
$3\frac{1}{6} = \frac{(6 \times 3) + 1}{6} = \frac{18+1}{6} = \frac{19}{6}$
$5\frac{1}{3} = \frac{(3 \times 5) + 1}{3} = \frac{15+1}{3} = \frac{16}{3}$
2. Şimdi paydaları eşitleyelim. Paydalar 6 ve 3. EKOK'ları 6'dır.
$\frac{16}{3}$ kesrini 2 ile genişletiriz: $\frac{16 \times 2}{3 \times 2} = \frac{32}{6}$
3. İşlemi yapalım: $\frac{19}{6} + \frac{32}{6} = \frac{19+32}{6} = \frac{51}{6}$
4. Sonucu tekrar tam sayılı kesre çevirebilir veya sadeleştirebiliriz. $51 \div 6 = 8$ kalan 3. Yani $8\frac{3}{6}$. Bu kesir de sadeleştirilebilir: $8\frac{1}{2}$.
</example>
Bir doğal sayı ile bir kesri toplama veya çıkarma işlemi yaparken, doğal sayının paydasında her zaman görünmeyen bir "1" olduğunu unutmayın. Bu şekilde doğal sayıyı bir kesre dönüştürüp payda eşitleme yapabilirsiniz.
<example>
Örnek: $4 - \frac{2}{7}$
1. Doğal sayıyı kesir olarak ifade edelim: $4 = \frac{4}{1}$
2. Şimdi paydaları eşitleyelim. Paydalar 1 ve 7. EKOK'ları 7'dir.
$\frac{4}{1}$ kesrini 7 ile genişletiriz: $\frac{4 \times 7}{1 \times 7} = \frac{28}{7}$
3. İşlemi yapalım: $\frac{28}{7} - \frac{2}{7} = \frac{28-2}{7} = \frac{26}{7}$
</example>
Pratik Yöntem:
Doğal sayı ile bir kesrin toplamı/çıkarımı için pratik bir yol vardır:
Doğal sayı ($A$) ile kesrin paydasını ($C$) çarpın.
Eğer toplama işlemi ise, çıkan sonuca kesrin payını ($B$) ekleyin.
Eğer çıkarma işlemi ise, çıkan sonuçtan kesrin payını ($B$) çıkarın.
Payda ($C$) aynı kalır.
Formül: $A + \frac{B}{C} = \frac{(A \times C) + B}{C}$ ve $A - \frac{B}{C} = \frac{(A \times C) - B}{C}$
<example>
Örnek: $4 - \frac{2}{7}$
Pratik yöntemle: $\frac{(4 \times 7) - 2}{7} = \frac{28 - 2}{7} = \frac{26}{7}$
Bu yöntem, bileşik kesre çevirme mantığına benzer ve tam sayılı kesir ile doğal sayı arasındaki farkı kapatır.
</example>
Geometrik şekillerin (örneğin dikdörtgen) çevre uzunluğunu bulmak gibi problemler, kesirlerle toplama ve çıkarma becerilerini gerektirebilir. Dikdörtgenin çevresi iki uzun kenar ile iki kısa kenarın toplamıdır.
<example>
Örnek: Kısa kenarı $\frac{4}{5}$ olan, uzun kenarı $1\frac{1}{10}$ olan dikdörtgenin çevre uzunluğu.
1. Kısa kenarları toplayalım: $\frac{4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$
(Videonun örneğinde paydalar 10 olduğu için $\frac{4}{5}$ kesri 2 ile genişletilerek $\frac{8}{10}$ olarak alınmıştır.)
2. Uzun kenarları toplayalım: $1\frac{1}{10} + 1\frac{1}{10}$
Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim: $1\frac{1}{10} = \frac{(10 \times 1) + 1}{10} = \frac{11}{10}$
$\frac{11}{10} + \frac{11}{10} = \frac{22}{10}$
3. Tüm kenar uzunluklarını toplayalım: $\frac{8}{10} + \frac{22}{10} = \frac{30}{10}$
Bu kesir sadeleştirildiğinde: $\frac{30}{10} = 3$ birim olur.
</example>
Görsel modeller (şekillerin taranmış kısımları) kesirleri temsil eder. İşlemleri yapmadan önce modelin hangi kesri ifade ettiğini doğru bir şekilde yazmak önemlidir.
Modele Göre Kesri Yazma: Tüm parçaların sayısı paydayı, taranmış parçaların sayısı payı oluşturur.
İşlemden Önce Sadeleştirme: İşlemleri kolaylaştırmak için mümkünse kesirleri sadeleştirebilirsiniz.
<example>
Örnek: Bir modelde 10 kutucuktan 5'i taranmış ($\frac{5}{10}$), diğer modelde 8 kutucuktan 3'ü taranmış ($\frac{3}{8}$). Bu iki kesir arasında çıkarma işlemi yapınız.
1. Modelleri kesir olarak yazalım: $\frac{5}{10}$ ve $\frac{3}{8}$
2. İlk kesri sadeleştirelim: $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ (Her ikisi de 5 ile sadeleşir.)
3. Şimdi işlemi yapalım: $\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$
4. Paydaları eşitleyelim. Paydalar 2 ve 8. EKOK'ları 8'dir.
$\frac{1}{2}$ kesrini 4 ile genişletelim: $\frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}$
5. İşlemi yapalım: $\frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4-3}{8} = \frac{1}{8}$
</example>
Tablolarda belirli satır veya sütun toplamlının belirli bir değere (genellikle 1 tam) eşit olduğu durumlarda eksik kesirleri bulma soruları, toplama ve çıkarma becerilerini bir arada kullanmayı gerektirir.
1 Tam Sayısını Kesre Çevirme: "1 tam"ı, işlemin yapıldığı kesirlerin paydasına göre bir kesir olarak ifade edin. Örneğin, paydalar 15 ise 1 tam = $\frac{15}{15}$.
Adım Adım İlerleme: Bilinen kesirleri toplayarak veya çıkararak bilinmeyeni bulma yöntemini kullanın.
<example>
Örnek: Bir tabloda her satır ve sütunda bulunan üç kesrin toplamı 1'e eşittir.
Bir satırda $\frac{5}{15}$, $\frac{7}{15}$ ve bilinmeyen bir kesir (A) olsun.
1. Bilinen kesirleri toplayalım: $\frac{5}{15} + \frac{7}{15} = \frac{12}{15}$
2. Toplamın 1 tam olması gerektiği için, 1 tamı $\frac{15}{15}$ olarak ifade ederiz.
3. A'yı bulmak için çıkarma işlemi yaparız: $\frac{15}{15} - \frac{12}{15} = \frac{3}{15}$
Demek ki $A = \frac{3}{15}$.
4. Benzer şekilde diğer bilinmeyenleri bulmaya devam edilir.
</example>
<tip>
Bu tür sorularda kesirleri karşılaştırırken, yine paydaları eşitse paylarına bakarak veya farklı paydalara sahiplerse paydaları eşitleyerek karşılaştırma yapın. Kesirleri büyükten küçüğe sıralamak için tüm kesirlerin paydalarının eşitlenmesi en güvenli yöntemdir.
</tip>