Akıllı Not Detayı

Matematik 1. Yazılıya Hazırlık Notları

1. Çarpanlar ve Katlar

Çarpan Bulma
Bir sayının çarpanları, o sayıyı tam bölen sayılardır. Aynı zamanda o sayının bölenleri olarak da adlandırılır. Bir dikdörtgenin alanı verildiğinde kenar uzunlukları, alanın çarpanları olabilir.
<example>
Örnek: Alanı 24 cm² olan bir dikdörtgenin kenarları için 24'ün çarpanları aranır.
24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
1 x 24
2 x 12
3 x 8
4 x 6
</example>
<tip>
Bir sayının çarpanlarını bulurken "1 ve kendisi" her zaman en baştaki ve en sondaki çarpanlardır, bunları unutmamak önemlidir.
</tip>

Asal Çarpanlara Ayırma
Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka tam böleni olmayan 1'den büyük sayılardır. Asal çarpanlara ayırma, bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaktır.
<tip>
Asal sayıları iyi bilmek önemlidir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
En küçük asal sayı 2'dir.
Tek çift asal sayı 2'dir, diğer tüm asal sayılar tektir.
</tip>

Asal çarpanlara ayırmak için iki ana yöntem vardır:

1. Çarpan Ağacı Yöntemi: Sayıyı dallara ayırarak asal çarpanlarına ulaşılır. Son dallardaki tüm sayılar asal olana kadar devam edilir.
<example>
Örnek: 18 sayısının çarpan ağacı:
18
/ \
2 9
/ \
3 3
18'in asal çarpanları 2 ve 3'tür.
</example>
2. Bölen Listesi (Algoritma) Yöntemi: Sayının yanına dikey bir çizgi çekilerek en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür. Bölüm 1 olana kadar işleme devam edilir.
<example>
Örnek: 18 sayısının bölen listesi:
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
18 = 2 x 3 x 3
Üslü gösterimi: 18 = 2¹ x 3² (2'nin üzerinde görünmez bir 1 vardır.)
18'in asal çarpanları 2 ve 3'tür.
</example>

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)
İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğü EBOB, ortak katlarının en küçüğü ise EKOK olarak adlandırılır.
<example>
Örnek: 18 ve 30 sayılarının EBOB ve EKOK'unu bulma:
18 | 30 | 2 (İkisini de böldüğü için yuvarlak içine alınır)
9 | 15 | 3 (İkisini de böldüğü için yuvarlak içine alınır)
3 | 5 | 3
1 | 5 | 5
| 1 |

EBOB: Ortak bölenlerin çarpımıdır. EBOB(18, 30) = 2 x 3 = 6
EKOK: Tüm sayıların çarpımıdır. EKOK(18, 30) = 2 x 3 x 3 x 5 = 90
</example>
<tip>
EBOB genellikle sayılardan daha küçük veya eşit çıkar.
EKOK genellikle sayılardan daha büyük veya eşit çıkar.
</tip>

EBOB-EKOK Özellikleri:
İki sayının çarpımı: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
<example>
Örnek: 18 x 30 = 540.
EBOB(18, 30) x EKOK(18, 30) = 6 x 90 = 540.
18 x 30 = EBOB(18, 30) x EKOK(18, 30)
</example>
Birbirinin katı olan sayılar: Birbirinin katı olan iki sayının EBOB'u küçük olan sayıya, EKOK'u ise büyük olan sayıya eşittir.
<example>
Örnek: 12 ve 24 sayıları birbirinin katıdır (24, 12'nin 2 katıdır).
EBOB(12, 24) = 12 (küçük sayı)
EKOK(12, 24) = 24 (büyük sayı)
</example>
<common-mistake>
EBOB ve EKOK problemlerinde birimlere dikkat etmek gerekir. Kilogram ile ilgili bir problemde EBOB veya EKOK sonucu da kilogram cinsinden çıkacaktır. Sayıların birimi değişmez.
</common-mistate>

Aralarında Asallık
Tek ortak böleni sadece 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir.
<example>
Örnek:
9 ve 14 sayıları aralarında asaldır çünkü 1'den başka ortak bölenleri yoktur.
1 ile tüm sayılar aralarında asaldır (Örn: 1 ve 25).
Ardışık doğal sayılar her zaman aralarında asaldır (Örn: 51 ve 52, 63 ve 64).
</example>
<common-mistake>
15 ve 21 sayıları aralarında asal değildir, çünkü her ikisi de 3'e bölünebilir (ortak bölenleri 3'tür).
</common-mistake>

Aralarında Asal Sayıların EBOB-EKOK Özellikleri:
EBOB: Aralarında asal sayıların EBOB'u her zaman 1'dir.
EKOK: Aralarında asal sayıların EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.
<example>
Örnek: 4 ve 15 sayıları aralarında asaldır.
EBOB(4, 15) = 1
EKOK(4, 15) = 4 x 15 = 60
</example>

EBOB-EKOK Problemlerini Ayırt Etme
Problemin EBOB mu yoksa EKOK mu gerektirdiğini anlamak, doğru çözüme ulaşmanın anahtarıdır.

EBOB Kullanılacak Durumlar (Büyükten Küçüğe, Parçalama):
Büyük parçaları eşit küçük parçalara ayırmak (Örn: Yağ tenekelerini küçük şişelere ayırma, tahtaları eşit küçük parçalar kesme).
Arazinin etrafına eşit aralıklarla fidan dikme, direk dikme soruları.
Kumaşları, çubukları eşit parçalara bölme.
Bir şeyi gruplara ayırma.

EKOK Kullanılacak Durumlar (Küçükten Büyüğe, Birleştirme, Tekrar Etme):
Küçük fayanslarla büyük bir zemin döşeme, küçük karolardan büyük bir kağıt oluşturma.
Zaman soruları (Örn: Farklı aralıklarla çalan zillerin ne zaman tekrar birlikte çalacağı, otobüslerin ne zaman aynı duraktan kalkacağı).
Birlikte nöbet, ortak hareket saati gibi tekrar eden olaylar.
<tip>
Zaman (ay, gün, saat, dakika) ile ilgili problemlerde, özellikle "ne zaman tekrar birlikte..." ifadesi varsa, genellikle EKOK kullanılır.
</tip>

2. Üslü İfadeler

Bir sayının kendisiyle birden fazla kez çarpımının kısa yoldan gösterimidir.

Önemli Üslü Kuvvetler
Özellikle 2, 3 ve 5'in kuvvetlerini bilmek problem çözmede hız kazandırır.
<example>
2'nin Kuvvetleri: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (2⁷'ye kadar).
3'ün Kuvvetleri: 3, 9, 27, 81 (3⁴ çok sık çıkar).
5'in Kuvvetleri: 5, 25, 125, 625 (5⁴'e kadar).
</example>

Temel Üslü Sayı Kuralları
1. 1'in Kuvvetleri: 1'in herhangi bir kuvveti her zaman 1'dir.
<example>
1²⁵ = 1
</example>
2. Sayıların 1. Kuvveti: Bir sayının 1. kuvveti sayının kendisine eşittir.
<example>
30¹ = 30
</example>
3. Sayıların 0. Kuvveti: Sıfır hariç herhangi bir sayının 0. kuvveti her zaman 1'dir.
<example>
12⁰ = 1
</example>

Negatif Sayıların Kuvvetleri
Taban negatif olduğunda kuvvetin tek veya çift olması sonucun işaretini etkiler:
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir.
<example>
(-4)² = (-4) x (-4) = +16
(-1)² = +1
</example>
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir.
<example>
(-4)³ = (-4) x (-4) x (-4) = -64
(-1)³ = -1
</example>
<common-mistake>
Parantez kullanımı çok kritiktir:
`(-4)² = +16` (Kuvvet hem sayıyı hem işareti etkiler)
`-4² = -(4²) = -16` (Kuvvet sadece sayıyı etkiler, eksi işareti dışarıda kalır)
</common-mistake>

Negatif Üs
Bir ifadenin üssü negatifse, tabanı ters çevirir (çarpmaya göre tersini alır) ve üs pozitif hale gelir.
<example>
(2/3)⁻² = (3/2)² = (3²/2²) = 9/4
4⁻¹ = 1/4¹ = 1/4 (Her tam sayının altında görünmez bir 1 vardır.)
3⁻² = 1/3² = 1/9
</example>

Üssün Üssü
Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında, üsler birbiriyle çarpılır.
(a^m)^n = a^(m x n)
<example>
(2⁵)³ = 2^(5 x 3) = 2¹⁵
16⁻² = (2⁴)⁻² = 2^(4 x -2) = 2⁻⁸ = 1/2⁸ = 1/256
</example>

Üslü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemleri
1. Tabanlar Aynıysa:
Çarpma: Üsler toplanır. (a^m x a^n = a^(m+n))
<example>
3⁵ x 3⁷ = 3^(5+7) = 3¹²
</example>
Bölme: Üsler çıkarılır (payın üssünden paydanın üssü çıkarılır). (a^m / a^n = a^(m-n))
<example>
2¹⁰ / 2³ = 2^(10-3) = 2⁷
</example>
2. Üsler Aynıysa:
Çarpma: Tabanlar çarpılır, üs aynı kalır. (a^m x b^m = (a x b)^m)
<example>
2⁸ x 3⁸ = (2 x 3)⁸ = 6⁸
</example>
Bölme: Tabanlar bölünür, üs aynı kalır. (a^m / b^m = (a / b)^m)
<example>
20⁶ / 5⁶ = (20 / 5)⁶ = 4⁶
</example>

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma yapabilmek için "tabanlar ve üsler" aynı olmalıdır. Bu durumda, üslü ifade bir "elma" gibi düşünülür ve katsayılar arasında toplama/çıkarma yapılır.
<example>
6 x 2¹⁰ + 5 x 2¹⁰ = (6 + 5) x 2¹⁰ = 11 x 2¹⁰
9 x 3⁸ - 4 x 3⁸ = (9 - 4) x 3⁸ = 5 x 3⁸
</example>

Çözümleme (Ondalık Gösterimleri Çözümleme)
Bir sayıyı basamak değerlerine göre üslü ifadelerle yazmaktır. Genellikle 10'un kuvvetleri kullanılır.
<tip>
"Altı Çizgi Metodu" pratik bir yöntemdir:
... 10² | 10¹ | 10⁰ , 10⁻¹ | 10⁻² | 10⁻³ ...
Virgülün solundaki ilk basamak 10⁰ (birler basamağı), sağı ise 10⁻¹ (onda birler basamağı) ile başlar. Eksik basamaklar için 0 kullanılır.
</tip>
<example>
Örnek: 3 x 10¹ + 5 x 10⁰ + 2 x 10⁻¹ + 6 x 10⁻² + 1 x 10⁻³ şeklinde çözümlenmiş bir sayı:
10² (yok, 0) | 10¹ (3) | 10⁰ (5) , 10⁻¹ (2) | 10⁻² (6) | 10⁻³ (1)
Bu sayı 35.261'dir.
</example>
<common-mistake>
Çözümlemede verilmeyen basamaklara 0 yazmayı unutmamak önemlidir. Sayının başındaki veya sonundaki sıfırlar hariç, iç kısımlardaki boşluklar 0 ile doldurulur.
</common-mistake>

Çok Büyük ve Çok Küçük Sayılar / Bilimsel Gösterim
Sayıları 10'un kuvvetleri şeklinde yazmak, çok büyük veya çok küçük sayıları daha anlaşılır kılar.

Çok Büyük Sayılar:
<example>
65.000.000 = 65 x 10⁶ (katsayıya göre virgülden sonraki sıfır sayısı kadar 10'un pozitif kuvveti)
Katsayı büyürse (virgül sağa kayarsa), 10'un kuvveti küçülür.
Katsayı küçülürse (virgül sola kayarsa), 10'un kuvveti büyür. (Denge prensibi)
</example>

Çok Küçük Sayılar:
<example>
0,000037 = 37 x 10⁻⁶ (katsayıya kadar virgülden sonraki basamak sayısı kadar 10'un negatif kuvveti)
Katsayı büyürse (virgül sağa kayarsa), 10'un kuvveti küçülür.
Katsayı küçülürse (virgül sola kayarsa), 10'un kuvveti büyür.
</example>
<common-mistake>
Negatif üslerde dengeyi korurken dikkatli olmak gerekir. Örneğin, 37 x 10⁻⁶ ifadesinde sayıyı büyütmek (37'yi 370 yapmak) için 10 ile çarparız; o zaman üssü küçültmemiz gerekir, yani 10⁻⁶'yı 10⁻⁷ yaparız.
37 x 10⁻⁶ = 370 x 10⁻⁷ (mantis büyüdü, üs küçüldü)
37 x 10⁻⁶ = 3,7 x 10⁻⁵ (mantis küçüldü, üs büyüdü)
</common-mistake>

Bilimsel Gösterim:
Bir sayının a x 10ⁿ şeklinde yazılmasıdır. Burada:
1 ≤ a < 10 olmalıdır (a, 1'e eşit olabilir ama 10'dan küçük olmalıdır).
n bir tam sayı olmalıdır.
<example>
481 x 10⁷ sayısını bilimsel gösterime çevirme:
481'i 1 ile 10 arasına getirmek için virgülden sonra 2 basamak kaydırırız (481 → 4.81). Bu sayıyı 100 kat küçültmektir.
Dolayısıyla 10'un kuvvetini (7) 2 artırırız: 4.81 x 10^(7+2) = 4.81 x 10⁹
0,009 x 10⁻¹⁰ sayısını bilimsel gösterime çevirme:
0,009'u 1 ile 10 arasına getirmek için virgülden sonra 3 basamak sağa kaydırırız (0,009 → 9). Bu sayıyı 1000 kat büyütmektir.
Dolayısıyla 10'un kuvvetini (-10) 3 azaltırız: 9 x 10^(-10-3) = 9 x 10⁻¹³
</example>

3. Kareköklü İfadeler

Kareköklü ifadeler, Milli Eğitim Bakanlığı senaryo sorularında tüm konular olarak yer almıyor olsa da, örnek sorularda çarpma ve bölme kazanımları çıktığı için bu konulara dikkat etmek önemlidir.

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri
Bir sayının kendisiyle çarpılması sonucu elde edilen sayılara tam kare sayılar denir. Tam kare sayıların karekökleri bir tam sayıdır.
<example>
2² = 4 (4 bir tam kare sayıdır. √4 = 2)
3² = 9 (9 bir tam kare sayıdır. √9 = 3)
7² = 49 (49 bir tam kare sayıdır. √49 = 7)
</example>
<tip>
İlk 10 tam sayının karelerini bilmek hızlı işlem yapmayı sağlar:
1², 2², 3², 4², 5², 6², 7², 8², 9², 10² = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
</tip>
<example>
Alanı 81 cm² olan bir karenin bir kenar uzunluğu √81 = 9 cm'dir.
</example>

Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerinin Yaklaşık Değeri
Tam kare olmayan sayıların karekökleri, genellikle hangi iki tam sayı arasında olduğunu ve hangi tam sayıya daha yakın olduğunu bulmak şeklinde sorulur.
<example>
√30'un yaklaşık değeri:
30 sayısı, 25 (5²) ve 36 (6²) tam kare sayıları arasındadır.
Yani √25 < √30 < √36 → 5 < √30 < 6
30, 25'e (5 birim uzaklık) mi yoksa 36'ya (6 birim uzaklık) mi daha yakın? 25'e daha yakın.
Dolayısıyla √30, 5 ile 6 arasındadır ve 5'e daha yakındır.
</example>
<tip>
Bir cetvelle ölçüm yapılırken, eğer başlangıç noktası 0 değil de 1 gibi farklı bir noktaysa, bu farkı toplam uzunluktan (veya değer aralığından) çıkarmayı unutmayın. Örneğin, 1'den başlayıp 8 ile 9 arasına gelen bir ölçüm, aslında 0'dan başlasaydı 7 ile 8 arasına gelirdi.
</tip>

a√b Şeklinde Gösterim
Bir kareköklü ifadenin kök dışındaki bir tam sayı ve kök içindeki bir sayı olarak gösterimi.

Kök Dışındaki Sayıyı Kök İçine Alma: Kök dışında çarpan olarak bulunan bir sayıyı kök içine almak için sayının karesi alınarak kök içine yazılır ve içerideki sayı ile çarpılır.
<example>
3√5 sayısında 3'ü kök içine alalım:
3 içeriye 3² olarak girer. → √(3² x 5) = √(9 x 5) = √45
</example>
Kök İçindeki Sayıyı Kök Dışına Çıkarma: Kök içindeki sayıdan tam kare çarpanlar ayrılarak kök dışına çıkarılır.
<example>
√28 sayısını a√b şeklinde yazalım:
28 = 4 x 7 (4 bir tam kare sayıdır)
√28 = √(4 x 7) = √4 x √7 = 2√7
</example>
<tip>
Sıralama ve yaklaşık değer sorularında sayıları ya tamamen kök içine almak ya da a√b şeklinde ortak bir kök içine getirmek karşılaştırmayı kolaylaştırır.
</tip>

Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme
Kareköklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemleri, kök dışındaki sayılar kendi aralarında, kök içindeki sayılar kendi aralarında çarpılır veya bölünür.

Çarpma: a√b x c√d = (a x c)√(b x d)
<example>
5√2 x 4√3 = (5 x 4)√(2 x 3) = 20√6
3√2 x √7 = (3 x 1)√(2 x 7) = 3√14 (√7'nin önünde görünmez bir 1 vardır.)
8 x √5 = 8√5 (8'in köklü kısmı yoksa, direkt yanına yazılır.)
√3 x √3 = √9 = 3 (Aynı köklü ifadelerin çarpımı, kök içindeki sayıyı verir.)
</example>

Bölme: a√b / c√d = (a / c)√(b / d)
<example>
8√6 / 2√2 = (8 / 2)√(6 / 2) = 4√3
√35 / √5 = √(35 / 5) = √7
24√7 / 6 = (24 / 6)√7 = 4√7 (Paydada köklü ifade yoksa, kök dışındaki sayılar bölünür.)
</example>

---

Örnek Problemler ve Çözümleri

Problem 1: Dikdörtgen Bahçenin Çevre Uzunlukları
Alanı 48 cm² olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin kenar uzunlukları metre cinsinden birer tam sayıdır. Buna göre bu bahçenin çevre uzunluğunun metre cinsinden alabileceği değerleri yazınız.

Çözüm:
Bahçenin alanı 48 m² ise, kenar uzunlukları 48'in çarpanları olmalıdır.
48'in çarpanları:
1 x 48
2 x 24
3 x 16
4 x 12
6 x 8

Çevre uzunluğu = 2 x (kısa kenar + uzun kenar)
(1 + 48) x 2 = 49 x 2 = 98 m
(2 + 24) x 2 = 26 x 2 = 52 m
(3 + 16) x 2 = 19 x 2 = 38 m
(4 + 12) x 2 = 16 x 2 = 32 m
(6 + 8) x 2 = 14 x 2 = 28 m

Alabileceği çevre uzunlukları: 98, 52, 38, 32, 28 metredir.
<tip>
"Kenar uzunlukları birden farklıdır" gibi ek koşullar olabileceği için tüm çarpanları kontrol etmek önemlidir. Ayrıca en küçük veya en büyük çevre değeri de sorulabilir.
</tip>

Problem 2: Otobüslerin Birlikte Kalkma Zamanı (EKOK Problemi)
Bir otobüs durağından A otobüsü her 15 dakikada, B otobüsü her 25 dakikada bir kalkıyormuş. A ve B otobüsleri bu duraktan saat 8.00'da birlikte kalktıklarına göre, saat 10.00 ile 14.00 arasında bu iki otobüsün aynı anda bu duraktan geçtiği saatleri yazınız.

Çözüm:
Bu bir EKOK problemidir, çünkü iki farklı periyotta hareket eden varlıkların ne zaman tekrar birlikte olacağı soruluyor (zaman soruları).
15 ve 25'in EKOK'unu bulalım:
15 | 25 | 3
5 | 25 | 5
1 | 5 | 5
| 1 |
EKOK(15, 25) = 3 x 5 x 5 = 75 dakika.

Otobüsler her 75 dakikada bir birlikte kalkacaklar.
İlk birlikte kalkış: 08:00
08:00 + 75 dakika = 08:00 + 1 saat 15 dakika = 09:15
09:15 + 75 dakika = 09:15 + 1 saat 15 dakika = 10:30
10:30 + 75 dakika = 10:30 + 1 saat 15 dakika = 11:45
11:45 + 75 dakika = 11:45 + 1 saat 15 dakika = 13:00
13:00 + 75 dakika = 13:00 + 1 saat 15 dakika = 14:15

Saat 10.00 ile 14.00 arasında birlikte geçtikleri saatler: 10:30, 11:45, 13:00.

Problem 3: Panoyu Etiketle Kaplama (EBOB Problemi)
Şekildeki kenar uzunlukları verilen dikdörtgen şeklindeki pano, bir kenar uzunluğu santimetre cinsinden tam sayı olan kare biçimindeki etiketlerle kaplanacaktır. Panoda hiç boşluk kalmayacak ve etiketler üst üste gelmeyeceğine göre bu iş için en az kaç etiket gerekir? (Pano kenarları: 42 cm ve 70 cm)

Çözüm:
Pano, eş kare etiketlerle boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde kaplanacaksa, kare etiketlerin bir kenarı 42 ve 70'in ortak böleni olmalıdır. "En az kaç etiket" denildiği için, kullanılan etiketlerin alanı en büyük olmalı, yani kare etiketlerin kenarı mümkün olan en büyük olmalıdır. Bu durumda 42 ve 70'in EBOB'u bulunur.

42 | 70 | 2 (Ortak)
21 | 35 | 3
7 | 35 | 5
7 | 7 | 7 (Ortak)
1 | 1 |
EBOB(42, 70) = 2 x 7 = 14 cm.
Bu durumda kare etiketlerin bir kenar uzunluğu 14 cm olacaktır.

Toplam etiket sayısını bulmak için:
Panonun kısa kenarına sığacak etiket sayısı: 42 cm / 14 cm = 3 adet
Panonun uzun kenarına sığacak etiket sayısı: 70 cm / 14 cm = 5 adet
Toplam etiket sayısı = 3 x 5 = 15 adet.

Alternatif yöntem:
Panonun alanı = 42 x 70 = 2940 cm²
Bir etiketin alanı = 14 x 14 = 196 cm²
Toplam etiket sayısı = 2940 / 196 = 15 adet.

Problem 4: Ortak Bölen İçeren İkinci Atık Malzeme Uzunluğu
Bir mühendis geri dönüştürülebilir malzemeleri artık parça kalmadan en büyük eşit parçalara bölebilen akıllı bir kesici makine geliştirmiştir. Deneme sırasında mühendis makineye iki farklı atık malzeme yerleştirmiştir. Birinci atık malzemenin uzunluğu 84 cm ölçülmüştür. Makine çalıştığında her iki malzemeyi de 12 cm'lik parçalara bölmüştür. Buna göre ikinci atık malzemenin uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği iki basamaklı sayı değerlerini bulunuz.

Çözüm:
Makine her iki malzemeyi de 12 cm'lik parçalara böldüğüne göre, 12 cm bu iki malzemenin ortak böleni ve aynı zamanda en büyük ortak böleni (EBOB) olmalıdır. Birinci atık malzeme 84 cm olduğuna göre, ikinci atık malzeme (X) de 12'nin katı olmalı ve EBOB(84, X) = 12 olmalıdır.
12'nin iki basamaklı katlarını listeleyelim: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.
EBOB(84, 84) = 84'tür, 12 değildir. Dolayısıyla ikinci malzeme 84 cm olamaz.
Diğer tüm sayılar için EBOB(84, X) = 12 olacaktır, çünkü 84 ve X, 12'nin katı olmalı ve 12'den daha büyük ortak bölenleri (örneğin 24, 36, 48 vb.) olmamalıdır.
<example>
EBOB(84, 12) = 12
EBOB(84, 24) = 12
EBOB(84, 36) = 12
EBOB(84, 48) = 12
EBOB(84, 60) = 12
EBOB(84, 72) = 12
EBOB(84, 96) = 12
</example>
İkinci atık malzemenin alabileceği iki basamaklı değerler: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 96.

Problem 5: Aralarında Asal Sayılar (2K ve 18)
İki basamaklı 2K sayısı 18 ile aralarında asal olduğuna göre, K yerine gelebilecek rakamları bulunuz.

Çözüm:
2K sayısı 20 ile 29 arasındaki bir sayıdır (20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29).
18 sayısının çarpanları (ve asal çarpanları) 2 ve 3'tür (18 = 2 x 3²).
2K sayısının 18 ile aralarında asal olması için 2'ye ve 3'e bölünmemesi gerekir.

20: 2'ye bölünür (asal değil)
21: 3'e bölünür (asal değil)
22: 2'ye bölünür (asal değil)
23: Asal sayıdır ve 18'in çarpanlarına bölünmez. (Aralarında asal)
24: 2'ye ve 3'e bölünür (asal değil)
25: 2'ye ve 3'e bölünmez. (Aralarında asal)
26: 2'ye bölünür (asal değil)
27: 3'e bölünür (asal değil)
28: 2'ye bölünür (asal değil)
29: Asal sayıdır ve 18'in çarpanlarına bölünmez. (Aralarında asal)

K yerine gelebilecek rakamlar: 3, 5, 9.

Problem 6: Üslü Sayı İşlemleri
(25⁴ x 5⁷) / (125³ x 5²) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:
Tüm sayıları aynı tabanda (5 tabanında) yazarak işlemi kolaylaştıralım:
25 = 5²
125 = 5³

Yerine yazarsak:
((5²)⁴ x 5⁷) / ((5³)³ x 5²)

Üssün üssü kuralını uygulayalım:
(5^(2x4) x 5⁷) / (5^(3x3) x 5²)
(5⁸ x 5⁷) / (5⁹ x 5²)

Tabanlar aynıysa çarpma işleminde üsler toplanır:
5^(8+7) / 5^(9+2)
5¹⁵ / 5¹¹

Tabanlar aynıysa bölme işleminde üsler çıkarılır:
5^(15-11)
5⁴

Sonuç: 5⁴ = 625

Problem 7: Negatif Üsler ve Eşitlik
1/72 = 2^kare x 3^yuvarlak eşitliğine göre kare ve yuvarlak yerine yazılacak tam sayıları bulunuz.

Çözüm:
Önce 72 sayısının asal çarpanlarını ayıralım:
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
72 = 2³ x 3²

Şimdi eşitliği yazalım:
1/ (2³ x 3²) = 2^kare x 3^yuvarlak

Negatif üs kuralına göre, paydadaki bir üslü ifade paya çıktığında üssün işareti değişir:
2⁻³ x 3⁻² = 2^kare x 3^yuvarlak

Bu durumda, kare = -3 ve yuvarlak = -2 olur.

Problem 8: Tel ve Eşkenar Üçgen Oluşturma (Üslü Sayılar)
Bir kenar uzunluğu 6⁴ cm olan kare şeklindeki tel açılarak bir kenar uzunluğu 3³ cm olan eşkenar üçgenler yapılıyor. Buna göre elde edilen eşkenar üçgen sayısı en fazla kaçtır?

Çözüm:
Tel kare şeklindeyse, teli açtığımızda elde edeceğimiz toplam tel uzunluğu karenin çevresi kadardır.
Kare telin çevresi = 4 x (bir kenar uzunluğu) = 4 x 6⁴ cm.

Bu telden bir kenar uzunluğu 3³ cm olan eşkenar üçgenler yapılıyor. Bir eşkenar üçgenin çevresi, kullanılan tel uzunluğudur.
Bir eşkenar üçgenin çevresi = 3 x (bir kenar uzunluğu) = 3 x 3³ cm.

Kaç adet eşkenar üçgen elde edileceğini bulmak için toplam tel uzunluğunu bir eşkenar üçgenin çevresine böleriz:
Eşkenar üçgen sayısı = (4 x 6⁴) / (3 x 3³)

Şimdi üslü ifade kurallarını kullanarak hesaplayalım:
4'ü 2'nin kuvveti olarak yazalım: 4 = 2²
6'yı asal çarpanlarına ayıralım: 6 = 2 x 3, dolayısıyla 6⁴ = (2 x 3)⁴ = 2⁴ x 3⁴
Paydadaki 3 x 3³ ifadesi 3¹ x 3³ = 3^(1+3) = 3⁴ yapar.

Denklemi güncelleyelim:
(2² x 2⁴ x 3⁴) / 3⁴

Pay kısmındaki tabanları aynı olan 2'nin kuvvetlerini toplayalım:
(2^(2+4) x 3⁴) / 3⁴
(2⁶ x 3⁴) / 3⁴

3⁴'ler birbirini sadeleştirir.
Sonuç: 2⁶ = 64

En fazla 64 adet eşkenar üçgen elde edilebilir.

Problem 9: Fayanslarla Banyo Zemini (Üslü Sayılar Alan Hesabı)
Şekilde dikdörtgen şeklindeki fayanslarla döşenmiş banyo zemini görülmektedir. Banyonun dikdörtgen şeklindeki yüzeyinin kısa kenarı 2⁸ cm, uzun kenarı 4⁹ cm'dir. Buna göre fayanslardan birinin alanını cm² cinsinden bulunuz.

Çözüm:
Banyonun toplam alanı = kısa kenar x uzun kenar
Banyonun alanı = 2⁸ cm x 4⁹ cm

Tüm tabanları 2'ye çevirelim: 4 = 2²
Banyonun alanı = 2⁸ x (2²)⁹ = 2⁸ x 2^(2x9) = 2⁸ x 2¹⁸ = 2^(8+18) = 2²⁶ cm²

Şekle bakıldığında, banyo zemini 4 sıra ve 4 sütundan oluştuğu için toplam 4x4 = 16 adet fayans vardır.
Bir fayansın alanı = Banyonun toplam alanı / Fayans sayısı
Bir fayansın alanı = 2²⁶ / 16

16'yı 2'nin kuvveti olarak yazalım: 16 = 2⁴
Bir fayansın alanı = 2²⁶ / 2⁴

Tabanlar aynıysa bölme işleminde üsler çıkarılır:
Bir fayansın alanı = 2^(26-4) = 2²² cm²

Problem 10: Çözümlenmiş Sayıları Ondalık Gösterime Çevirme
Aşağıda çözümlenmiş hâlleri verilen sayıları ondalık gösterimlerini yazınız.

1. A sayısı: 5 x 10² + 3 x 10⁰ + 6 x 10⁻¹ + 1 x 10⁻³
Çözüm: Altı çizgi metodunu kullanarak;
10² | 10¹ | 10⁰ , 10⁻¹ | 10⁻² | 10⁻³
5 | 0 | 3 . 6 | 0 | 1
A = 503.601

2. B sayısı: 2 x 10² + 3 x 10¹ + 9 x 10⁻¹ + 7 x 10⁻²
Çözüm: Altı çizgi metodunu kullanarak;
10² | 10¹ | 10⁰ , 10⁻¹ | 10⁻² | 10⁻³
2 | 3 | 0 . 9 | 7 | 0
B = 230.970 (veya 230.97)

3. C sayısı: 1 x 10¹ + 9 x 10⁰ + 6 x 10⁻² + 5 x 10⁻³
Çözüm: Altı çizgi metodunu kullanarak;
10² | 10¹ | 10⁰ , 10⁻¹ | 10⁻² | 10⁻³
0 | 1 | 9 . 0 | 6 | 5
C = 19.065

Problem 11: İncir Kurutma ve Bilimsel Gösterim
100 kg yaş incir kurutularak 20 kg kuru incir elde edilmektedir. Buna göre 6500 ton kuru incir elde etmek için kurutulması gereken yaş incir miktarının kilogram cinsinden bilimsel gösterimini bulunuz. (1 ton = 1000 kg)

Çözüm:
Yaş incir miktarı ile kuru incir miktarı arasındaki ilişkiyi bulalım:
100 kg yaş incir → 20 kg kuru incir
Bu, yaş incirin 5'te 1'i kadar kuru incir elde edildiği anlamına gelir (100 / 20 = 5). Ya da kuru incir miktarının 5 katı yaş incir gereklidir.

İstenen kuru incir miktarı = 6500 ton.
Bu kadar kuru incir için gereken yaş incir miktarı = 6500 ton x 5 = 32500 ton yaş incir.

Yaş incir miktarını kilogram cinsinden bulmak için tonu kilograma çevirelim (1 ton = 1000 kg):
32500 ton = 32500 x 1000 kg = 32.500.000 kg

Şimdi bu sayıyı bilimsel gösterime çevirelim:
32.500.000 = 3.25 x 10⁷ kg
(Katsayıyı 1 ile 10 arasına getirmek için virgülden sonra 7 basamak sola kaydırdık, dolayısıyla 10'un kuvvetini 7 artırdık.)

Problem 12: Bakterilerin Tüpü Geçme Durumu (Üslü Sayılar Karşılaştırma)
Bir deney tüpünde bulunan bir bakteri türünün uzunluğu 2.4 x 10⁻¹⁰ metredir. Tüpteki bakteri sayısı 5 x 10⁷ olarak ölçülmüştür. Deney tüpünün yüksekliği 116 x 10⁻⁴ metredir. Buna göre bakteriler üst üste dizildiğinde tüpün yüksekliğini geçer mi? Hesaplayarak gerekçelerini açıklayınız.

Çözüm:
Bakterilerin toplam uzunluğunu bulmak için bir bakterinin uzunluğu ile bakteri sayısını çarpalım:
Toplam bakteri uzunluğu = (2.4 x 10⁻¹⁰ m) x (5 x 10⁷)

Katsayıları kendi aralarında çarpalım: 2.4 x 5 = 12
10'un kuvvetlerini kendi aralarında çarpalım (üsleri toplayalım): 10⁻¹⁰ x 10⁷ = 10^(-10+7) = 10⁻³
Toplam bakteri uzunluğu = 12 x 10⁻³ metre.

Şimdi bu toplam uzunluğu tüpün yüksekliği olan 116 x 10⁻⁴ metre ile karşılaştırmamız gerekiyor. Karşılaştırma yapabilmek için 10'un kuvvetlerinin aynı olması daha kolaydır.
12 x 10⁻³ ifadesini 10⁻⁴ cinsinden yazalım:
12 x 10⁻³ = 12 x 10¹ x 10⁻⁴ = 120 x 10⁻⁴ metre.

Şimdi karşılaştıralım:
Bakterilerin toplam uzunluğu: 120 x 10⁻⁴ m
Tüpün yüksekliği: 116 x 10⁻⁴ m

120 x 10⁻⁴ > 116 x 10⁻⁴ olduğu için, bakteriler üst üste dizildiğinde tüpün yüksekliğini geçer.

Problem 13: Kesilmiş Karenin Çevresi (LGS Tipi Karekök Problemi)
Alanı 144 cm² olan şekildeki kareden, ikinci şekildeki gibi bir kare kesilerek çıkartılmıştır. İkinci şeklin alanı 80 cm²'dir. Buna göre ikinci şeklin çevre uzunluğu kaç santimetredir?

Çözüm:
Başlangıçtaki büyük kare alanı 144 cm² ise, bir kenarı √144 = 12 cm'dir.
Büyük karenin çevresi = 4 x 12 = 48 cm'dir.

İkinci şeklin alanı 80 cm²'e düştüğüne göre, kesilen parçanın alanı = 144 cm² - 80 cm² = 64 cm²'dir.
Kesilen parça da bir kare olduğuna göre, bu karenin bir kenarı √64 = 8 cm'dir.

İkinci şeklin çevre uzunluğunu hesaplamak için, yeni şeklin dış hattını takip edelim:
Büyük karenin dış kenarlarından üçü (2 tanesi tam 12 cm, 1 tanesinin bir kısmı): 12 + 12 = 24 cm
Kesilen kısmın olduğu kenar:
Kesik olan kenarın dıştaki iki parçası: (12 - 8) = 4 cm (toplamı)
Kesilen karenin içteki üç kenarı: 8 + 8 + 8 = 24 cm

Toplam çevre = (12 cm'lik tam 3 kenar) + (içeride oluşan 8 cm'lik 3 kenar) + (dışarıda kalan 2 kısım)
Bu şekilde hesaplarsak:
Çevre = 12 (sol) + 12 (alt) + 12 (sağ) + (12-8)/2 (sağ üst dış) + 8 (sağ iç) + 8 (üst iç) + 8 (sol iç) + (12-8)/2 (sol üst dış)
Daha basit bir yöntem: Büyük karenin çevresi 4 x 12 = 48 cm idi.
Kesilen kare parçasının 2 kenarı (8+8=16 cm) orijinal çevreden eksildi.
Fakat kesilen karenin 3 kenarı (8+8+8=24 cm) yeni çevreye eklendi (iç kısımdan).
Çevre = 48 - 16 + 24 = 56 + 8 = 64 cm.

Veya doğrudan kenarları toplayarak:
Başlangıçtaki karenin kenarlarından biri 12 cm. Diğeri de 12 cm.
Kesilen kısa kenar 8 cm ise, 12-8 = 4 kalır. Bu 4 cm, kesilen kenardaki iki küçük parçanın toplam uzunluğudur.
Çevre = 12 (alttaki kenar) + 12 (sağdaki kenar) + 4 (üstteki iki kısa parça) + 8 (içteki sağ kenar) + 8 (içteki üst kenar) + 8 (içteki sol kenar) + 12 (soldaki kenar)
Çevre = 12 + 12 + 4 + 8 + 8 + 8 + 12 = 64 cm.

Problem 14: Kalem Uzunluğunun Yaklaşık Değeri
Yukarıdaki şekilde bir ucu 1 cm'lik cetvelin bir noktasında, diğer ucu ise 8 ve 9 arasında 8'e daha yakın olan bir kalem görülmektedir. Kalemin uzunluğu santimetre cinsinden aşağıdaki hangisi olabilir?

Çözüm:
Cetvel 1 cm'den başladığına göre, normal ölçümde 0'dan başlamış olsaydı bu kalem 7 ile 8 arasında ve 7'ye daha yakın olurdu. (Çünkü 1 cm kaydırma var: 8 - 1 = 7 ve 9 - 1 = 8)
Kalemin uzunluğu 7 ile 8 arasındadır.
Kalemin uzunluğu 7'ye daha yakındır.

Karekök cinsinden ifade edersek:
√49 < Kalem uzunluğu < √64
Ve uzunluk √49'a daha yakın olmalıdır.
Şıklarda verilen değerleri bu duruma göre değerlendirilir: Örneğin √50 gibi bir değer, √49'a çok yakındır ve 7 ile 8 arasındadır. √60 ise 8'e daha yakın olurdu (√64'e yakın).

Problem 15: Dikdörtgeni Eş Karelere Ayırma (Karekök)
Aşağıda kısa kenar uzunluğu 4√2 cm ve uzun kenar uzunluğu √128 cm olan bir dikdörtgen verilmiştir. Bu dikdörtgen alanı bir kenarı √2 cm olan eş karelere ayrılacaktır. Elde edilecek kare sayısı kaçtır?

Çözüm:
Öncelikle dikdörtgenin kenar uzunluklarını düzenleyelim:
Kısa kenar = 4√2 cm
Uzun kenar = √128 cm. Bunu a√b şeklinde yazalım:
√128 = √(64 x 2) = √64 x √2 = 8√2 cm.

Bir kenarı √2 cm olan eş karelere ayrılacağına göre:
Kısa kenar boyunca kaç kare sığar: 4√2 / √2 = 4 adet
Uzun kenar boyunca kaç kare sığar: 8√2 / √2 = 8 adet

Toplam elde edilecek kare sayısı = (kısa kenardaki kare sayısı) x (uzun kenardaki kare sayısı)
Toplam kare sayısı = 4 x 8 = 32 adet.

Alternatif yöntem (Alan hesabı):
Dikdörtgenin alanı = Kısa kenar x Uzun kenar = 4√2 x 8√2 = (4 x 8) x (√2 x √2) = 32 x 2 = 64 cm²
Bir karenin alanı = √2 x √2 = 2 cm²
Toplam kare sayısı = (Dikdörtgenin alanı) / (Bir karenin alanı) = 64 / 2 = 32 adet.

Problem 16: Karo Taşlarıyla Dikdörtgen Zemin (Karekök)
Deniz bir kenar uzunluğu √18 cm olan kare şeklindeki eş karo taşlarını kullanarak dikdörtgen biçiminde bir zemin tasarlayacaktır. Elindeki 15 adet karo taşının tamamını, aralarında boşluk kalmayacak ve taşlar üst üste gelmeyecek şekilde yerleştirmiştir. Oluşturduğu dikdörtgen zeminin kısa kenar uzunluğu 9√2 cm olduğuna göre, bu zeminin uzun kenarın uzunluğunu santimetre cinsinden bulunuz.

Çözüm:
Karo taşının bir kenar uzunluğu √18 cm. Bunu a√b şeklinde yazalım:
√18 = √(9 x 2) = √9 x √2 = 3√2 cm.

Dikdörtgen zeminin kısa kenar uzunluğu 9√2 cm verilmiş.
Kısa kenar boyunca kaç adet karo taşı sığar:
9√2 cm / 3√2 cm = 3 adet.

Toplam 15 adet karo taşı kullanıldığına göre, uzun kenar boyunca kaç adet karo taşı sığar:
Toplam taş sayısı / Kısa kenardaki taş sayısı = 15 / 3 = 5 adet.

Uzun kenar boyunca 5 adet karo taşı sığıyorsa, uzun kenarın uzunluğunu bulmak için:
Uzun kenar uzunluğu = (Uzun kenardaki taş sayısı) x (Bir karo taşının kenar uzunluğu)
Uzun kenar uzunluğu = 5 x 3√2 cm = 15√2 cm.

İstenirse, 15√2 ifadesi kök içine alınabilir:
15√2 = √(15² x 2) = √(225 x 2) = √450 cm.
Cevap: 15√2 cm.