Akıllı Not Detayı

Bu video, kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinin temel kurallarını ve bu işlemlerin günlük hayatta karşılaşılan problemler üzerindeki uygulamalarını açıklamaktadır.

Kesirlerle Çarpma İşlemi

Pay ile pay, paydaya ile payda çarpılarak yapılır. Sayıları çarpmadan önce çapraz sadeleştirme, işlemi büyük sayılarla uğraşmadan kolaylaştırır.

Büyük sayılarla uğraşmamak için çarpma işleminden önce paylar ve paydalar arasında sadeleştirme yapmayı deneyin.

Tam sayılı kesirlerle çarpma yapmadan önce bunların bileşik kesre çevrilmesi önemlidir. Tam sayıların altında görünmez bir '1' olduğu kabul edilerek işlem yapılır.

Tam sayılı kesirleri sadeleştirirken veya çarparken bileşik kesre dönüştürmeyi unutmak sık yapılan bir hatadır.

1/3 ile 2/5'i çarpmak için payları çarparız (1x2=2) ve paydaları çarparız (3x5=15). Sonuç 2/15 olur.

Kesirlerle Bölme İşlemi

İlk kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilir ve ardından çarpma işlemi yapılır.

Eğer 2/3'ü 1/4'e bölmek istiyorsanız, 2/3'ü aynen yazar, 1/4'ü ters çevirip 4/1 yapar ve bunları çarparsınız (2/3 * 4/1 = 8/3).

Çarpma işleminde olduğu gibi bölmede de sadeleştirme, işlemleri hızlandırır ve basitleştirir. Tam sayılı kesirler önce bileşik kesre çevrildikten sonra bölme işlemi uygulanır.

Kesir Problemleri

Video, harçlık hesaplama, deponun doluluk oranı, kurdele ve zeytinyağı şişeleme gibi günlük yaşam senaryoları üzerinden kesirlerle çarpma ve bölme problemlerini çözme yöntemlerini gösterir. Ayrıca karmaşık görünen üniversite sınavı sorularının bile kesir bilgisiyle nasıl çözülebileceğini örnekler. Kartezyen koordinat sistemindeki alan modellemeleri ile kesir işlemlerinin görselleştirilmesi de ele alınır.

Alan ve Çevre Hesaplamaları

Dikdörtgen gibi geometrik şekillerin alan ve çevre uzunluklarını hesaplarken kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinin nasıl kullanıldığı gösterilir. Bilinmeyen kenar uzunluklarını bulmak için çevre uzunluğundan faydalanılır ve ardından alan hesaplanır.

Kesirlerle Çarpma ve Bölme İşlemleri

Bu notlar kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerini, bu işlemlerin nasıl yapıldığını, karşılaşılabilecek özel durumları ve modelllemelerini detaylı bir şekilde kapsar.

1. Kesirlerle Çarpma İşlemi

Kesirlerle çarpma işlemi, matematiğin en temel ve kolay işlemlerinden biridir. Esasen, "bir şeyin bir başka şeyi kadarını bulmak" gibi ifadelerde çarpma işlemi kullanılır.

Temel Kural:

Kesirleri çarpmak için payları çarparak yeni kesrin payına, paydaları çarparak yeni kesrin paydasına yazarsınız.

• $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{3 \times 4} = \frac{2}{12}$
• $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{5 \times 2} = \frac{3}{10}$

Sadeleştirme Yöntemi:

Özellikle büyük sayılarla çalışırken çarpma işlemini kolaylaştırmak için sadeleştirme kullanılabilir. Sadeleştirme, çarpmadan önce pay ve paydadaki ortak çarpanları bölerek sayıları küçültmek demektir.

Sadeleştirme, hem kendi paydasıyla hem de yanındaki kesrin paydasıyla çaprazlama olarak yapılabilir. Genellikle çarpmadan önce sadeleştirme yapmak, daha büyük sayılarla işlem yapmaktan korur ve hataları azaltır.

$\frac{7}{15} \times \frac{3}{2}$ işlemini yaparken:

• Normal çarpımda: $\frac{7 \times 3}{15 \times 2} = \frac{21}{30}$ bulunur. Sonra $\frac{21}{30}$ kesrini 3 ile sadeleştirirsek $\frac{7}{10}$ elde ederiz.
• Sadeleştirme ile: Paydaki 3 ile paydadaki 15 (ortak çarpan 3) sadeleşir. 3 sayısı 1 olur, 15 sayısı 5 olur.

$\frac{7}{\cancel{15}_5} \times \frac{\cancel{3}^1}{2} = \frac{7 \times 1}{5 \times 2} = \frac{7}{10}$

Tam Sayılı Kesirlerle Çarpma:

Tam sayılı kesirleri çarpmadan önce mutlaka bileşik kesre çevirmeniz gerekir.

Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirirken, tam kısmı payda ile çarpar, elde ettiğiniz sonuca payı eklersiniz. Payda aynı kalır.

$2\frac{1}{7} \times 4\frac{2}{3}$ işlemini yaparken:

• $2\frac{1}{7} = \frac{(2 \times 7) + 1}{7} = \frac{15}{7}$
• $4\frac{2}{3} = \frac{(4 \times 3) + 2}{3} = \frac{14}{3}$
• Şimdi çarpma işlemini yapalım: $\frac{15}{7} \times \frac{14}{3}$
• Sadeleştirme yaparak: $\frac{\cancel{15}^5}{\cancel{7}_1} \times \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{3}_1} = \frac{5 \times 2}{1 \times 1} = \frac{10}{1} = 10$

Tam Sayı ile Kesir Çarpma:

Bir tam sayıyı bir kesirle çarparken, tam sayının paydasına "görünmez bir 1" olduğunu düşünerek işlemi yapabilirsiniz.

Bir tam sayıyla kesri çarparken tam sayıyı sadece payla çarpıp paydayı değiştirmemeyi veya tam sayının altına "1" yazmayı unutmayın.

Örneğin: $3 \times \frac{2}{5}$

Yanlış: $\frac{3 \times 2}{3 \times 5} = \frac{6}{15}$ (paydayı da çarpmak) veya $\frac{3 \times 2}{5 \times 1} = \frac{6}{5}$ doğru olan.

$3 \times \frac{2}{5}$ işlemini yaparken:

• $3 = \frac{3}{1}$
• $\frac{3}{1} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{1 \times 5} = \frac{6}{5}$

Çarpma Modellemesi:

Kesirlerle çarpma işlemi, iki kesrin görsel temsillerini üst üste getirerek de modellenebilir. Ortak olan alan, çarpımın sonucunu gösterir.

$\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}$ işleminin modellemesi:

• Bir bütünü 3 eşit parçaya ayırıp 1 parçasını ( $\frac{1}{3}$'ünü) boyayın (örneğin dikey olarak).
• Aynı bütünü 5 eşit parçaya ayırıp 2 parçasını ( $\frac{2}{5}$'ini) farklı bir renkle boyayın (örneğin yatay olarak).
• İki boyamanın kesiştiği (üst üste geldiği) alan, çarpma işleminin sonucunu temsil eder. Toplam 15 parçada (5 dikey x 3 yatay) 2 parça iki rengin de olduğu yerdir. Bu da $\frac{2}{15}$ sonucunu verir.
• Hesaplama ile: $\frac{1 \times 2}{3 \times 5} = \frac{2}{15}$

2. Kesirlerle Bölme İşlemi

Kesirlerle bölme işlemi de çarpma gibi basit bir kurala dayanır.

Temel Kural:

Kesirleri bölmek için ilk kesri aynen yazarız, ikinci kesri "ters çeviririz" (pay ve paydasını yer değiştiririz) ve ardından bu iki kesir arasında çarpma işlemi yaparız.

• $\frac{2}{3} \div \frac{1}{4}$ işlemini yaparken:
• İlk kesir $\frac{2}{3}$ aynen yazılır.
• İkinci kesir $\frac{1}{4}$ ters çevrilir ve $\frac{4}{1}$ olur.
• Şimdi çarpma yapılır: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{1} = \frac{2 \times 4}{3 \times 1} = \frac{8}{3}$
• $\frac{3}{5} \div \frac{2}{7}$ işlemini yaparken:
• İlk kesir $\frac{3}{5}$ aynen yazılır.
• İkinci kesir $\frac{2}{7}$ ters çevrilir ve $\frac{7}{2}$ olur.
• Çarpma yapılır: $\frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{3 \times 7}{5 \times 2} = \frac{21}{10}$

Sadeleştirme Yöntemi:

Bölme işleminde de ters çevirip çarpma adımından sonra sadeleştirme kullanılabilir.

$\frac{15}{14} \div \frac{3}{7}$ işlemini yaparken:

• Ters çevirip çarpma: $\frac{15}{14} \times \frac{7}{3}$
• Sadeleştirme yaparak:
• 15 ile 3 sadeleşir (ortak çarpan 3). 15 sayısı 5 olur, 3 sayısı 1 olur.
• 7 ile 14 sadeleşir (ortak çarpan 7). 7 sayısı 1 olur, 14 sayısı 2 olur.
• Yeni işlem: $\frac{\cancel{15}^5}{\cancel{14}_2} \times \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{3}_1} = \frac{5 \times 1}{2 \times 1} = \frac{5}{2}$

Tam Sayılı Kesirlerle Bölme:

Bölme işleminde de tam sayılı kesirler varsa, bunları öncelikle bileşik kesre çevirmelisiniz.

Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmeden doğrudan bölme kuralını uygulamak hataya yol açar.

$4\frac{2}{3} \div \frac{4}{9}$ işlemini yaparken:

• $4\frac{2}{3}$ kesrini bileşik kesre çevirelim: $\frac{(4 \times 3) + 2}{3} = \frac{14}{3}$
• Şimdi bölme işlemini yapalım: $\frac{14}{3} \div \frac{4}{9}$
• Ters çevirip çarpma: $\frac{14}{3} \times \frac{9}{4}$
• Sadeleştirme yaparak:
• 14 ile 4 sadeleşir (ortak çarpan 2). 14 sayısı 7 olur, 4 sayısı 2 olur.
• 9 ile 3 sadeleşir (ortak çarpan 3). 9 sayısı 3 olur, 3 sayısı 1 olur.
• Yeni işlem: $\frac{\cancel{14}^7}{\cancel{3}_1} \times \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{4}_2} = \frac{7 \times 3}{1 \times 2} = \frac{21}{2}$

Tam Sayı ile Kesir Bölme:

Bir tam sayıyı bir kesre bölerken veya bir kesri bir tam sayıya bölerken, tam sayının paydasına "görünmez bir 1" olduğunu unutmayın.

Tam sayının altına görünmez "1"i yazmayı unutmak, özellikle işlem sırasında hangi kesrin ters çevrileceği konusunda karışıklığa neden olabilir.

• $\frac{5}{2} \div 7$ işlemini yaparken:
• $7 = \frac{7}{1}$
• $\frac{5}{2} \div \frac{7}{1} = \frac{5}{2} \times \frac{1}{7} = \frac{5 \times 1}{2 \times 7} = \frac{5}{14}$
• $8 \div \frac{3}{4}$ işlemini yaparken:
• $8 = \frac{8}{1}$
• $\frac{8}{1} \div \frac{3}{4} = \frac{8}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{8 \times 4}{1 \times 3} = \frac{32}{3}$

Bölme işlemlerinde, bölünenin paydasında gizli 1 olduğunu unutarak ters çevirme yapmayıp işlemi karıştırmamak önemlidir. Örneğin, $8 \div \frac{3}{4}$ işleminde 8'i $\frac{8}{1}$ olarak yazıp ikinci kesri ters çevirerek çarpmalısınız. Eğer $\frac{8}{3} \div 4$ olsaydı, "4"ün altına "1" yazıp $\frac{8}{3} \div \frac{4}{1} = \frac{8}{3} \times \frac{1}{4}$ olarak devam ederdiniz.

Bölme Modellemesi:

Kesirlerle bölme işlemi, paydalar eşitlenerek de modellenebilir. Ortak paydaya sahip iki kesri bölmek aslında sadece payları bölmek gibidir.

$\frac{1}{3} \div \frac{3}{4}$ işleminin modellemesi:

• Her iki kesrin de paydasını 12'de eşitleyelim (3 ve 4'ün en küçük ortak katı).
• $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ (4 ile genişletildi)
• $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ (3 ile genişletildi)
• Şimdi işlem: $\frac{4}{12} \div \frac{9}{12}$. Bu, 4'ü 9'a bölmek gibidir.
• Sonuç: $\frac{4}{9}$
• Hesaplama ile: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{9}$

3. Uygulama ve Problem Çözme

Problem 1: Harçlık Hesaplama

Elanur annesinden aldığı 250 TL harçlığın $\frac{2}{5}$'ini harcamış, kalanını kumbarasına atmıştır. Elanur'un kumbarasına attığı para kaç TL'dir?

• Harcanan miktar: $250 \times \frac{2}{5} = \frac{250}{1} \times \frac{2}{5} = \frac{500}{5} = 100$ TL.
• Kalan miktar (kumbaraya atılan): $250 - 100 = 150$ TL.

Problem 2: Su Deposu Doluluk Oranı

Bir su deposunun $\frac{5}{6}$'sının $\frac{9}{10}$'u doludur. Buna göre bu deponun kaçta kaçı doludur?

• " ...nın ...nı" ifadeleri çarpma işlemi gerektirir.
• Doluluk oranı: $\frac{5}{6} \times \frac{9}{10}$
• Sadeleştirme yaparak: $\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{6}_2} \times \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{10}_2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 2} = \frac{3}{4}$
• Deponun $\frac{3}{4}$'ü doludur.

Problem 3: Kurdele Parçalama

9 metrelik bir kurdelenin tamamı $\frac{3}{4}$ metrelik eş parçalara ayrılmıştır. Buna göre kaç parça kurdele elde edilir?

• Toplam uzunluk eş parça uzunluğuna bölünür.
• Elde edilen parça sayısı: $9 \div \frac{3}{4}$
• $9 = \frac{9}{1}$
• $\frac{9}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{36}{3} = 12$ parça kurdele elde edilir.

Problem 4: Zeytinyağı Satışı

Ahmet amca tarlasında ürettiği 96 litre zeytinyağını $\frac{3}{4}$ litrelik şişelere doldurarak şişenin bir tanesini $2 \frac{3}{4}$ TL'den satarsa, Ahmet amca bu ürünlerin satışından toplam kaç TL kazanır?

• Adım 1: Kaç adet şişe olduğunu bulalım.
• $96 \div \frac{3}{4} = \frac{96}{1} \times \frac{4}{3}$
• Sadeleştirme: $\frac{\cancel{96}^{32}}{1} \times \frac{4}{\cancel{3}_1} = 32 \times 4 = 128$ şişe.
• Adım 2: Toplam kazancı bulalım.
• Bir şişenin fiyatı $2\frac{3}{4}$ TL. Bunu bileşik kesre çevirelim: $\frac{(2 \times 4) + 3}{4} = \frac{11}{4}$ TL.
• Toplam kazanç: $128 \times \frac{11}{4} = \frac{128}{1} \times \frac{11}{4}$
• Sadeleştirme: $\frac{\cancel{128}^{32}}{1} \times \frac{11}{\cancel{4}_1} = 32 \times 11 = 352$ TL.

Problem 5: Kartonlara Kalp ve Gülen Yüz Yapıştırma

54 cm ve 85 cm uzundaki iki kartona sırasıyla $\frac{18}{7}$ cm uzunluğunda kalpler ve $2\frac{1}{8}$ cm uzunluğunda özdeş gülen yüzler aralarında boşluk kalmayacak şekilde yapıştırılmıştır. Kullanılan gülen yüz sayısı kalp sayısından kaç fazladır?

• Kalp sayısı:
• $54 \div \frac{18}{7} = \frac{54}{1} \times \frac{7}{18}$
• Sadeleştirme: $\frac{\cancel{54}^3}{1} \times \frac{7}{\cancel{18}_1} = 3 \times 7 = 21$ adet kalp.
• Gülen yüz sayısı:
• $2\frac{1}{8}$'i bileşik kesre çevirelim: $\frac{(2 \times 8) + 1}{8} = \frac{17}{8}$ cm.
• $85 \div \frac{17}{8} = \frac{85}{1} \times \frac{8}{17}$
• Sadeleştirme: $\frac{\cancel{85}^5}{1} \times \frac{8}{\cancel{17}_1} = 5 \times 8 = 40$ adet gülen yüz.
• Fark: $40 - 21 = 19$. Gülen yüz sayısı kalp sayısından 19 fazladır.

Problem 6: Pizzalar

Birinci pizza 4 eş parçaya, ikincisi 6 eş parçaya bölünmüştür. Tonguç pizzasının bir diliminin $\frac{1}{3}$'ünü, Tankut ise pizzasının bir diliminin $\frac{3}{5}$'ini yemiştir. Her birinin pizzalarının kaçta kaçını yediğini bulun.

• Tonguç için:
• Tonguç'un pizzasının bir dilimi: $\frac{1}{4}$
• Yediği miktar: $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{4 \times 3} = \frac{1}{12}$
• Tankut için:
• Tankut'un pizzasının bir dilimi: $\frac{1}{6}$
• Yediği miktar: $\frac{1}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{1 \times 3}{6 \times 5} = \frac{3}{30}$
• Sadeleştirme: $\frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

Problem 7: Parke Döşeme

Bilal Bey, ölçüleri $10\frac{1}{2}$ m ve $5\frac{1}{4}$ m olan salonunu, $\frac{3}{4}$ m kenar uzunluğuna sahip kare parkelerle boşluk kalmadan döşeyecektir. Bu iş için kaç adet parke gerekir?

• Adım 1: Salonun uzun kenarına kaç parke sığar?
• $10\frac{1}{2}$ m = $\frac{(10 \times 2) + 1}{2} = \frac{21}{2}$ m.
• $\frac{21}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{21}{2} \times \frac{4}{3}$
• Sadeleştirme: $\frac{\cancel{21}^7}{\cancel{2}_1} \times \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{3}_1} = 7 \times 2 = 14$ parke.
• Adım 2: Salonun kısa kenarına kaç parke sığar?
• $5\frac{1}{4}$ m = $\frac{(5 \times 4) + 1}{4} = \frac{21}{4}$ m.
• $\frac{21}{4} \div \frac{3}{4} = \frac{21}{4} \times \frac{4}{3}$
• Sadeleştirme: $\frac{\cancel{21}^7}{\cancel{4}_1} \times \frac{\cancel{4}_1}{\cancel{3}_1} = 7 \times 1 = 7$ parke.
• Adım 3: Toplam parke sayısı.
• $14 \times 7 = 98$ adet parke gerekir.

Problem 8: Dikdörtgen Kartonun Alanı

Kenar uzunlukları A ve B olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğu $2 \times (A+B)$ ve alanı $A \times B$ olarak verilmiştir. Kısa kenar uzunluğu $\frac{4}{5}$ cm ve çevre uzunluğu $\frac{32}{5}$ cm olan dikdörtgen şeklindeki bu kartonun bir yüzünün alanının kaç $cm^2$ olduğunu bulun.

• Adım 1: Kısa ve uzun kenarın toplamını bulalım.
• Çevre $= 2 \times (\text{Kısa kenar} + \text{Uzun kenar})$
• $\frac{32}{5} = 2 \times (\frac{4}{5} + \text{Uzun kenar})$
• $\frac{4}{5} + \text{Uzun kenar} = \frac{32}{5} \div 2 = \frac{32}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{32}{10}$
• $\frac{32}{10}$ kesrini sadeleştirelim: $\frac{16}{5}$
• Adım 2: Uzun kenarı bulalım.
• $\frac{4}{5} + \text{Uzun kenar} = \frac{16}{5}$
• Uzun kenar $= \frac{16}{5} - \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$ cm.
• Adım 3: Kartonun alanını bulalım.
• Alan $= \text{Kısa kenar} \times \text{Uzun kenar}$
• Alan $= \frac{4}{5} \times \frac{12}{5} = \frac{4 \times 12}{5 \times 5} = \frac{48}{25}$ $cm^2$.