Akıllı Not Detayı

Harika! İşte bu videodan çıkarılan detaylı notlar:

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar, matematik derslerinin temel konularından biridir ve 7. sınıf müfredatının dördüncü matematik konusudur. Hayatımızın birçok alanında karşılaştığımız, "akılcı sayılar" olarak da adlandırılan bu sayılar, kesir kavramının bir ileri seviyesidir. Eskiden "kesir" olarak bilinen ifadeler artık "rasyonel sayı" olarak adlandırılır.

Rasyonel Sayı Nedir?
<tip>Rasyonel kelimesi "akılcı" anlamına gelir. Bu terim, ilerleyen sınıflarda karşılaşacağınız bazı "akıl dışı" veya "irrasyonel" sayılardan (örneğin π veya √2) ayrım yapmak için kullanılır.</tip>

Rasyonel sayılar, a/b şeklinde yazılabilen sayılardır.
A ve B mutlaka tam sayı olmak zorundadır.
B (payda) asla sıfıra eşit olamaz (B ≠ 0).

<example>
Doğru Rasyonel Sayı Örnekleri:
2/3
-3/5
-1 tam 2/4 (tam sayılı kesir)
5/1 (tüm tam sayılar rasyoneldir)

Yanlış Rasyonel Sayı Örnekleri:
2/0 (payda sıfır olamaz)
5/0 (payda sıfır olamaz)
</example>

Rasyonel Sayıların Sembolü
Rasyonel sayılar Q harfiyle gösterilir.
Tam sayılar (Z)
Doğal sayılar (N)

<tip>Tüm tam sayılar aynı zamanda birer rasyonel sayıdır. Örneğin, 6 sayısı 6/1 olarak, 200 sayısı ise 200/1 olarak yazılabilir. Bu da onların rasyonel sayı olduğunu gösterir.</tip>

Pozitif ve Negatif Rasyonel Sayılar
Sayı doğrusunda sıfırın sağında yer alan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar denir.
Sayı doğrusunda sıfırın solunda yer alan rasyonel sayılara negatif rasyonel sayılar denir.

İfade Biçimleri ve Kurallar:
0/sayı = 0: Bir sayının sıfırla bölümü daima sıfırdır.
<example>0/100 = 0, 0/Öküz = 0</example>
Sayı/0 = Tanımsız: Hiçbir sayı sıfıra bölünemez.
<common-mistake>5/0 = 0 (Yanlış!) Doğrusu: 5/0 = Tanımsız</common-mistake>

Negatif Rasyonel Sayılarda Eksi İşaretinin Yeri
Eksi işareti payda, pay veya kesir çizgisinin ortasında olabilir, hepsi aynı anlama gelir:
<example>
-5/6, 5/-6, -5/6 (ortada) hepsi aynı değeri ifade eder.
</example>
<common-mistake>
-5/-6 ifadesi diğerleriyle aynı değildir. Çünkü iki eksi birbirini götürerek pozitif bir sayı elde edilir (5/6).
</common-mistake>

Tam Sayılı ve Bileşik Kesirler
Rasyonel sayılar konusunda ilerlemek için tam sayılı ve bileşik kesirleri birbirine çevirme yöntemlerini hatırlamak önemlidir:

1. Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme:
Tam kısım ile payda çarpılır, pay eklenir ve sonuç paya yazılır. Payda aynı kalır.
<example>
2 tam 5/7 = (2 x 7 + 5) / 7 = 19/7
</example>
Negatif tam sayılı kesirlerde eksi işareti başta tutulur:
<example>
-2 tam 3/5 = - (2 x 5 + 3) / 5 = -13/5
</example>

2. Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme:
Pay, paydaya bölünür. Bölüm tam kısım, kalan pay ve bölen payda olur.
<example>
15/4: 15 / 4 = 3 kalan 3. Yani 3 tam 3/4.
</example>

Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayıları Gösterme

Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek için payda ve kesrin türüne dikkat etmek gerekir:

1. Sadeleştirme veya Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme: Sayıyı en sade haline getirin veya tam sayılı kesre çevirin.
<example>
7/3 = 2 tam 1/3
</example>

2. Basit Kesirler:
Sıfır ile bir arasındadır (pozitif basit kesirler için).
Sıfır ile eksi bir arasındadır (negatif basit kesirler için).
Payda kaç ise o kadar eşit parçaya ayrılır. Pay kaç ise o parçalardan o kadar ilerlenir.
<example>
2/4: 0 ile 1 arası 4 eşit parçaya bölünür (3 çentik ile), 0'dan başlayarak 2. parça işaretlenir.
-1/2: 0 ile -1 arası 2 eşit parçaya bölünür (1 çentik ile), 0'dan başlayarak -1 yönünde 1. parça işaretlenir.
</example>

3. Tam Sayılı / Bileşik Kesirler:
Tam kısmı hangi sayı ise o sayı ile bir sonraki tam sayı arasındadır.
<example>
-1 tam 1/3: -1 ile -2 arasındadır. -1 ile -2 arası 3 eşit parçaya bölünür, -1'den başlayarak 1. parça işaretlenir.
7/3 (yani 2 tam 1/3): 2 ile 3 arasındadır. 2 ile 3 arası 3 eşit parçaya bölünür, 2'den başlayarak 1. parça işaretlenir.
</example>

Ondalık Gösterim ve Devirli Sayılar

Rasyonel sayıları ondalık gösterime çevirmek veya ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirmek mümkündür.

Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterime Çevirme (Devirsiz)
Paydayı 10, 100 veya 1000 gibi 10'un kuvvetleri yapmaya çalışılır.
<example>
1/2: Her iki taraf 5 ile genişletilir -> 5/10 = 0,5
3/4: Her iki taraf 25 ile genişletilir -> 75/100 = 0,75
-1 tam 2/5: Payda 2 ile genişletilir -> -1 tam 4/10 = -1,4
-3/8: Her iki taraf 125 ile genişletilir -> -375/1000 = -0,375
</example>

Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme
Virgülün sağındaki basamak sayısı paydada 10'un kuvvetini belirler.
<example>
0,6: Virgülün sağında 1 basamak var, bu yüzden payda 10 olur. Kesir 6/10'dur.
0,32: Virgülün sağında 2 basamak var, bu yüzden payda 100 olur. Kesir 32/100'dür.
0,482: Virgülün sağında 3 basamak var, bu yüzden payda 1000 olur. Kesir 482/1000'dir.
5,32: 5 tam 32/100 olarak yazılır.
</example>

<common-mistake>
Ondalık bir sayıyı rasyonel sayıya çevirirken en küçük değeri bulmak için kesri sadeleştirmeyi unutmayın!
<example>
0,25 = 25/100 = 5/20 = 1/4. En küçük a+b değeri 1+4=5'tir.
</example>
</common-mistake>

Devirli Ondalık Sayılar
Eğer bir ondalık gösterimde virgülden sonra belirli bir rakam veya rakam grubu sürekli tekrar ediyorsa, bu sayıya devirli ondalık sayı denir. Tekrar eden kısmın üzerine bir çizgi (devir çizgisi) konur.

<example>
5/3 işlemi:
5 ÷ 3 = 1,666... (6 tekrar eder)
Bu 1,6 devirli olarak yazılır.
6/11 işlemi:
6 ÷ 11 = 0,545454... (54 tekrar eder)
Bu 0,54 devirli olarak yazılır.
</example>

Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme Formülü
Devirli ondalık sayılar rasyonel sayıya çevrilirken şu formül kullanılır:
(Tüm sayı - Devirsiz kısım) / (Virgülün sağındaki devirli basamak sayısı kadar 9, devirsiz basamak sayısı kadar 0)

<example>
2,45 devirli:
Tüm sayı (virgül ve çizgi yok sayılarak): 245
Devirsiz kısım (çizgi olmayan kısım): 2
Virgülün sağında devirli basamak sayısı: 2 (4 ve 5) -> 99
Virgülün sağında devirsiz basamak sayısı: 0
(245 - 2) / 99 = 243/99

7,3 devirli:
Tüm sayı: 73
Devirsiz kısım: 7
Virgülün sağında devirli basamak sayısı: 1 (3) -> 9
(73 - 7) / 9 = 66/9

6,12 devirli (2 devirli):
Tüm sayı: 612
Devirsiz kısım: 61
Virgülün sağında devirli basamak sayısı: 1 (2) -> 9
Virgülün sağında devirsiz basamak sayısı: 1 (1) -> 0
(612 - 61) / 90 = 551/90
</example>

Rasyonel Sayılarda Sıralama

Rasyonel sayıları sıralamak, özellikle sınavlarda sıkça karşılaşılan bir konudur.
Sayı doğrusunda sağa gittikçe sayılar büyür, sola gittikçe küçülür.
Negatif rasyonel sayılar her zaman pozitif rasyonel sayılardan küçüktür.

Sıralama Yöntemleri:

1. Paydalar Eşitse:
Payı büyük olan sayı daha büyüktür.
<example>
Pozitifler: 7/8 > 2/8 (8 dilimli pastanın 7 dilimi 2 diliminden büyüktür.)
Karışık: -1/4 < 3/4 < 5/4
</example>

2. Paylar Eşitse:
Paydası büyük olan sayı daha küçüktür (çok enteresan bir durum!).
<example>
7'yi 2 kardeşe dağıtmak (7/2) 7'yi 3 kardeşe dağıtmaktan (7/3) daha büyük pay düşürür. Bu nedenle 7/2 > 7/3.

Negatifler: Pozitif gibi düşünüp sıralama ters çevrilir.
-7/3 > -7/2 (Çünkü normalde 7/3 < 7/2 iken, negatiflikten dolayı büyük olan küçük, küçük olan büyük olur.)
Yani, 7/5 genel olarak en büyüktür (pozitif olduğu için). Sonra -7/3 > -7/2 gelir.
</example>
<tip>Negatif rasyonel sayıları sıralarken önce işaretleri yok sayarak pozitif gibi sıralama yapın, sonra sıralamanın yönünü ters çevirin.</tip>
<example>
1/2 ve 1/4 için: 1/2 > 1/4
-1/2 ve -1/4 için: -1/2 < -1/4 (İşaretler yok sayıldığında büyük olan, işaretler geri geldiğinde daha küçük olur.)
</example>

3. Ondalık Gösterime Çevirerek Sıralama:
Bu yöntem, devirli veya devirsiz ondalık sayılar arasında sıralama yaparken çok kullanışlıdır.
Sayıları ondalık olarak yazın ve basamak basamak karşılaştırın. Eksik basamakları 0 ile tamamlayabilirsiniz.
<example>
K = 3,64 devirli (yani 3,6444...)
L = 3,64 (yani 3,6400...)
M = 3,64 devirli (yani 3,6464...)

Sıralama (büyükten küçüğe):
İlk basamaklar (3) aynı.
İkinci basamaklar (6) aynı.
Üçüncü basamaklar (4) aynı.
Dördüncü basamaklar: K (4), L (0), M (6).
Bu durumda M > K > L'dir.
</example>

4. 0'a, 1'e veya -1'e Yakınlıklarına Göre Sıralama:
Basit kesirler (0 ile 1 veya 0 ile -1 arası), bileşik kesirlerden daima daha küçüktür (pozitiflerde).
<example>5/4 (bileşik) > 4/5 (basit) ve > 3/4 (basit) > ... </example>
0'a daha yakın olan pozitif sayı daha küçük, -1'e daha yakın olan negatif sayı daha küçüktür.
<example>
Sayılar: 5/4, 3/4, 4/5, -1/6, -3/5, -7/8
1. En büyük pozitif bileşik kesir: 5/4
2. Pozitif basit kesirler: 4/5 ve 3/4. 4/5 (0.8) 1'e daha yakınken, 3/4 (0.75) daha uzaktır. Yani 4/5 > 3/4.
3. Negatif basit kesirler: -1/6, -3/5, -7/8.
-1/6 (yaklaşık -0.16) 0'a en yakın.
-3/5 (yaklaşık -0.6) ortada.
-7/8 (yaklaşık -0.875) -1'e en yakın.
Sayı doğrusunda soldan sağa doğru gidildikçe değer arttığı için: -7/8 < -3/5 < -1/6.

Tüm sıralama (büyükten küçüğe): 5/4 > 4/5 > 3/4 > -1/6 > -3/5 > -7/8
</example>

Sonuçların Orijinal Kesirlerle İfade Edilmesi
Sıralama yaparken kesirleri genişletip veya sadeleştirip eşitleseniz bile, nihai cevabı her zaman verilen orijinal kesirlerle ifade etmeniz önemlidir.

<tip>Genel strateji:
1. Negatif ve pozitif sayıları ayırın. Pozitifler her zaman negatiflerden büyüktür.
2. Pozitifleri kendi arasında (payda eşitleme, pay eşitleme veya ondalığa çevirme ile) sıralayın.
3. Negatifleri kendi arasında pozitif gibi düşünerek sıralayın ve ardından sıralamanın yönünü ters çevirin.</tip>

Bu notlar, rasyonel sayılar konusunu videodan bağımsız olarak tam anlamıyla anlamanız için yeterli bilgiye sahiptir.