Akıllı Not Detayı

Bu video, 7. sınıf matematik konularından "Rasyonel Sayılar" ve "Ondalık Gösterimler" üzerine kapsamlı bir ders sunmaktadır.

Rasyonel Sayılara Giriş ve Temel Kavramlar

Rasyonel sayılar, a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada 'a' ve 'b' birer tam sayı olmakla birlikte, payda 'b' asla sıfır olamaz. Rasyonel sayılar 'Q' sembolüyle gösterilir.

Paydanın sıfır olması durumu, matematikte tanımsızlığa yol açar. Bu önemli bir kuraldır.

Negatif rasyonel sayılarda eksi işareti, kesir çizgisinin önüne, payın yanına veya paydanın yanına konulabilir; bu durum sayının değerini değiştirmez.

-3/4, 3/-4 veya -(3/4) ifadelerinin hepsi aynı değeri temsil eder.

Tam Sayıların Rasyonel Sayı Olarak İfadesi

Her tam sayı aslında paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır.

6 gibi bir sayının rasyonel olmadığını düşünmek yaygın bir yanılgıdır. Oysa 6, 6/1 olarak yazılabildiğinden bir rasyonel sayıdır.

Kesir Türleri Arası Dönüşümler

• Tam Sayılı Kesirleri Bileşik Kesre Çevirme: Tam sayı ile paydayı çarpıp payı ekleyerek yeni pay bulunur, payda sabit kalır. Örneğin, 2 tam 2/3 kesri (2x3)+2 = 8/3 olur.
• Bileşik Kesirleri Tam Sayılı Kesre Çevirme: Payı paydaya bölerek tam kısım ve kalan bulunur. Tam kısım ana sayı, kalan yeni pay, payda ise sabit kalır.

Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayıları Gösterme

Rasyonel sayılar sayı doğrusunda bulunurken, öncelikle hangi iki tam sayı arasında olduğu belirlenir. Ardından birim aralık kaç eş parçaya bölündüğü payda olarak yazılır ve okunan nokta pay değerini verir. Negatif sayılarda bu işlem sağdan sola doğru yapılır.

Rasyonel Sayılar Arasındaki Tam Sayıları Bulma

Verilen bileşik kesirleri tam sayılı kesre çevirerek, sayı doğrusundaki konumları belirlenir ve aralarındaki tam sayılar listelenir.

Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterime Çevirme

1. Paydayı 10, 100 veya 1000 Yapma: Rasyonel sayının paydasını genişletme veya sadeleştirme yoluyla 10, 100 veya 1000 gibi bir sayıya dönüştürerek ondalık gösterim elde edilir.

3/4 kesri 25 ile genişletilerek 75/100 olur ve 0.75 şeklinde yazılır.

2. Bölme İşlemiyle: Payda uygun sayılara dönüştürülemiyorsa, payı paydaya bölerek ondalık gösterim bulunur. Bu bölme işlemi kalanı sıfır olana kadar devam ettirilir.

Devirli Ondalık Gösterimler

Bazı rasyonel sayıların ondalık gösterimleri, bölme işlemi sonucunda basamakların sonsuz tekrar etmesiyle oluşur. Bu tür ondalık gösterimlere devirli ondalık gösterim denir ve tekrar eden kısım üzerine şapka konularak belirtilir.

11/3 = 3.666... sayısı 3,6̅ olarak yazılır.

Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirmek için özel bir kural uygulanır: (Sayının tamamı - Devretmeyen kısım) / (Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0).

Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirirken, virgülden sonraki basamakları dikkate alarak paydaya 9 ve 0'ları doğru yerleştirmek çok önemlidir.

Rasyonel Sayılar ve Ondalık Gösterimleri

Rasyonel sayılar, matematik derslerinin temel konularından biridir ve ilerleyen sınıflarda da sıklıkla karşımıza çıkacaktır. Bu konuda rasyonel sayıların tanımından başlayarak, tam sayılı kesirlerle ilişkisine, sayı doğrusundaki yerine ve ondalık gösterimlere nasıl çevrildiklerine dair tüm detayları inceleyeceğiz.

1. Rasyonel Sayının Tanımı

A ve B birer tam sayı olmak üzere, A/B şeklinde ifade edilebilen sayılara rasyonel sayı denir. Buradaki en kritik nokta, payda (B) asla sıfır olamaz. Çünkü paydanın sıfır olması, matematiksel olarak tanımsız bir ifade yaratır.

Rasyonel sayılar matematikte Q harfi ile sembolize edilir.

• 3/4
• -4/7
• 15/2
• 0 (0/1 olarak yazılabilir)
• -6 ( -6/1 olarak yazılabilir)

Negatif Rasyonel Sayılarda İşaretin Yeri:

Negatif rasyonel sayılarda eksi işareti üç farklı yere konulabilir ve hepsi aynı ifadeyi temsil eder:

1. Kesir çizgisinin önüne: -A/B

2. Payın önüne: -A/B

3. Paydanın önüne: A/-B

Bu üç gösterim de matematiksel olarak eşdeğerdir ve aynı rasyonel sayıyı ifade eder.

Eksi işaretini genellikle kesir çizgisinin önüne veya payın önüne koymak, işlem yaparken karışıklığı önlemek adına daha pratik olabilir.

Tam Sayılar ve Rasyonel Sayılar İlişkisi:

Her tam sayı aslında bir rasyonel sayıdır. Çünkü her tam sayının paydasına gizli bir "1" yazılabilir. Bu durum sayının değerini değiştirmezken, onu A/B formunda yazılabilir kılar.

• 6 = 6/1
• -7 = -7/1
• 0 = 0/1

Paydanın Sıfır Olması:

Öğrenciler bazen farkında olmadan paydası sıfır olan ifadeler yazabilirler. Unutmayın ki payda hiçbir zaman sıfır olamaz. Örneğin, 5/0 tanımsızdır, rasyonel sayı değildir.

2. Tam Sayılı Kesirleri Bileşik Kesirlere ve Bileşik Kesirleri Tam Sayılı Kesirlere Çevirme

Tam Sayılı Kesir: Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlerdir. Örneğin, $2 \frac{2}{3}$.

Basit Kesir: Payı paydasından küçük olan kesirlerdir. Örneğin, $2/3$.

Bileşik Kesir: Payı paydasından büyük veya payına eşit olan kesirlerdir. Örneğin, $8/3$, $5/5$.

2.1. Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme

Bu işlem için "çarp, topla" yöntemini kullanırız:

1. Tam sayı ile paydayı çarpın.

2. Çıkan sonuca payı ekleyin. Bu yeni değer bileşik kesrin payı olur.

3. Payda ise değişmeden aynı kalır.

• $2 \frac{2}{3}$ kesrini bileşik kesre çevirelim:
• $2 \times 3 = 6$
• $6 + 2 = 8$ (Bu yeni payımız)
• Payda değişmez: 3
• Sonuç: $8/3$

Negatif Tam Sayılı Kesirleri Çevirirken Dikkat:

Negatif tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirirken, öncelikle eksiyi görmezden gelerek kesri bileşik kesre çevirin, ardından bulduğunuz sonucun önüne eksi işaretini yerleştirin.

• $-1 \frac{1}{4}$ kesrini bileşik kesre çevirelim:
• Önce eksiyi görmezden gelerek $1 \frac{1}{4}$'ü çevirelim: $1 \times 4 + 1 = 5$. Payda 4. Sonuç $5/4$.
• Şimdi eksiyi ekleyelim: $-5/4$.

Eksili tam sayılı kesirleri çevirirken, tam sayıyı negatif alıp çarpmaya kalkmak yanıltıcı olabilir. Çarpma ve toplama işlemini sayının mutlak değeri üzerinden yapıp, en son eksi işaretini eklemek en güvenli yoldur. Örneğin, $-1 \frac{1}{4}$ için $ ( -1 \times 4 + 1 ) / 4 = -3/4 $ yanlıştır. Doğrusu, $-(1 \times 4 + 1) / 4 = -5/4$ şeklindedir.

2.2. Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme

Bileşik kesri tama sayılı kesre çevirmek için payı paydaya böleriz.

1. Payı paydaya bölün.

2. Bölüm, tam kısım olur.

3. Kalan, yeni pay olur.

4. Payda ise aynı kalır.

• $18/5$ kesrini tam sayılı kesre çevirelim:
• $18 \div 5 = 3$ (bölüm), $3$ (kalan).
• Tam kısım: 3
• Yeni pay: 3
• Payda: 5
• Sonuç: $3 \frac{3}{5}$

Negatif Bileşik Kesirleri Çevirirken Dikkat:

Negatif bileşik kesirleri tam sayılı kesre çevirirken de, tıpkı tam sayılıdan bileşiğe çevirirken olduğu gibi, önce eksiyi görmezden gelerek çevirme işlemini yapın, ardından sonuca eksi işaretini ekleyin.

• $-19/6$ kesrini tam sayılı kesre çevirelim:
• Eksiyi görmezden gelerek $19/6$'yı çevirelim: $19 \div 6 = 3$ (bölüm), $1$ (kalan). Sonuç $3 \frac{1}{6}$.
• Şimdi eksiyi ekleyelim: $-3 \frac{1}{6}$.

3. Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayıları Gösterme

Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusunda göstermek için aşağıdaki adımları izleyin:

1. Hangi Tam Sayılar Arasında Olduğunu Belirle:

• Eğer basit kesirse (payı paydasından küçük), 0 ile 1 (pozitifse) veya 0 ile -1 (negatifse) arasındadır.
• Eğer bileşik kesirse, önce tam sayılı kesre çevirerek hangi tam sayılar arasında olduğunu bulun. Örneğin $8/3 = 2 \frac{2}{3}$ olduğu için 2 ile 3 arasındadır.

2. Sayının Bulunduğu Aralığı Eş Parçalara Ayır:

• Kesrin paydası kadar eşit parçaya bölün. Örneğin, $5/7$ için 0 ile 1 arası 7 eşit parçaya ayrılır.

3. İlgili Noktayı İşaretle:

• Pay kadar ilerleyerek (pozitifse sağa, negatifse sola) noktayı işaretleyin.

• $5/7$ rasyonel sayısını sayı doğrusunda gösterelim:
• $5/7$ basit kesir olduğu için 0 ile 1 arasındadır.
• 0 ile 1 arasını 7 eşit parçaya böleriz.
• 0'dan başlayarak sağa doğru 5. çizgiyi işaretleriz.

• $1 \frac{1}{6}$ rasyonel sayısını sayı doğrusunda gösterelim:
• $1 \frac{1}{6}$ tam sayılı kesir olduğu için 1 ile 2 arasındadır.
• 1 ile 2 arasını 6 eşit parçaya böleriz.
• 1'den başlayarak sağa doğru 1. çizgiyi işaretleriz.

• $-2 \frac{1}{4}$ rasyonel sayısını sayı doğrusunda gösterelim:
• $-2 \frac{1}{4}$ tam sayılı kesir olduğu için -2 ile -3 arasındadır.
• Negatif sayılarda 0'dan sola doğru ilerleriz. Yani -2'den -3'e giderken, -2'yi başlangıç noktası olarak alacağız.
• -2 ile -3 arasını 4 eşit parçaya böleriz.
• -2'den başlayarak sola doğru 1. çizgiyi işaretleriz.

Negatif rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterirken, genelde 0'dan uzaklaşma yönünü (sola doğru) takip ederiz. Bu, pozitif sayılardaki 0'dan sağa doğru ilerlemeye benzer bir mantıktır. Örneğin -2 ile -3 arasındaki bir sayıyı bulurken, -2'den sonraki ilk işareti sayarız.

4. İki Rasyonel Sayı Arasındaki Tam Sayılar

İki rasyonel sayı arasındaki tam sayıları bulmak için, verilen rasyonel sayıları öncelikle tam sayılı kesre çevirerek hangi tam sayılar arasında olduklarını belirlemeliyiz.

• $11/3$ ile $-23/4$ arasındaki tam sayıları bulalım:
• İlk olarak, $11/3$ kesrini tam sayılı kesre çevirelim: $11 \div 3 = 3$ (bölüm) ve $2$ (kalan) $\implies 3 \frac{2}{3}$. Bu sayı 3'ü geçmiş ama 4'e ulaşamamıştır. Yani 3 ile 4 arasındadır.
• İkinci olarak, $-23/4$ kesrini tam sayılı kesre çevirelim: Eksiyi görmezden gelerek $23 \div 4 = 5$ (bölüm) ve $3$ (kalan) $\implies 5 \frac{3}{4}$. Eksiyi eklediğimizde $-5 \frac{3}{4}$ olur. Bu sayı -5'i geçmiş ama -6'ya ulaşamamıştır (sayı doğrusunda sola doğru gidiyoruz). Yani -5 ile -6 arasındadır.
• Bu durumda, aradığımız tam sayılar $-5 \frac{3}{4}$ ile $3 \frac{2}{3}$ arasındadır.
• Sayı doğrusunda bu aralık: ... $-6 \quad \mathbf{-5 \frac{3}{4}} \quad -5 \quad -4 \quad -3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad \mathbf{3 \frac{2}{3}} \quad 4$...
• Aralıktaki tam sayılar: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

5. Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterimde Yazma

Rasyonel sayıları ondalık gösterimlere dönüştürmenin iki ana yolu vardır:

5.1. Paydayı 10, 100 veya 1000 Yapma

Rasyonel sayının paydasını 10, 100 veya 1000'in kuvveti yapabiliyorsak (genişletme veya sadeleştirme yoluyla), bu en hızlı yoldur.

1. Paydayı 10, 100 veya 1000 yapacak şekilde kesri genişletin veya sadeleştirin.

2. Elde ettiğiniz yeni kesrin payında, paydada kaç sıfır varsa virgülden sonra o kadar basamak olacak şekilde sayıyı yazın. Tam kısım yoksa "0 tam" ile başlayın.

• $1/2$ kesrini ondalık gösterime çevirelim:
• Paydayı 10 yapmak için 5 ile genişletelim: $(1 \times 5) / (2 \times 5) = 5/10$.
• Tam kısım yok (basit kesir), paydada bir sıfır var, yani virgülden sonra bir basamak olacak: $0.5$.

• $3/4$ kesrini ondalık gösterime çevirelim:
• Paydayı 100 yapmak için 25 ile genişletelim: $(3 \times 25) / (4 \times 25) = 75/100$.
• Tam kısım yok, paydada iki sıfır var, yani virgülden sonra iki basamak olacak: $0.75$.

• $5/100$ kesrini ondalık gösterime çevirelim:
• Tam kısım yok, paydada iki sıfır var. Payda tek basamaklı olduğu için virgülden sonraki ilk basamağa sıfır ekleriz: $0.05$.

• $2 \frac{17}{25}$ kesrini ondalık gösterime çevirelim:
• Tam kısmı $2$ tam olarak kalır.
• $17/25$ kesrini 4 ile genişletelim: $(17 \times 4) / (25 \times 4) = 68/100$.
• Bu da $0.68$ demektir.
• Tam kısmı ekleyelim: $2.68$.

• Bileşik Kesirlerde Hızlı Çevirme:
• $225/100$ kesrini ondalık gösterime çevirelim:
• Payı (225) aynen yazın.
• Paydada kaç sıfır varsa, sayının en sağından başlayarak o kadar basamak sola doğru virgülü kaydırın. Paydada iki sıfır var, virgülü iki basamak sola kaydırırız: $2.25$.

5.2. Bölme Yöntemi (Paydayı 10, 100, 1000 Yapılamadığında)

Bazı rasyonel sayıların paydası 10, 100 veya 1000 yapılamaz (örneğin 3, 6, 7 gibi asal sayılar veya asal çarpanlarında 2 ve 5 harici çarpan barındıran sayılar). Bu durumda, payı paydaya böleriz.

1. Payı paydaya normal bölme işlemiyle bölün.

2. Kalan sıfır olana kadar veya bir örüntü oluşana kadar bölmeye devam edin. Kalan oluştuğunda yanına bir sıfır ekleyerek bölmeye devam edin ve bölüme bir virgül atın.

• $11/3$ kesrini ondalık gösterime çevirelim:
• $11 \div 3 = 3$ (kalan 2).
• Kalan 2'nin yanına bir sıfır ekle (20), bölüme virgül at.
• $20 \div 3 = 6$ (kalan 2).
• Kalan tekrar 2. Yanına bir sıfır ekle (20), bölmeye devam et.
• $20 \div 3 = 6$ (kalan 2). Bu böyle devam eder.
• Sonuç: $3.666...$

6. Devirli Ondalık Gösterimler

Bölme işlemi sonucunda ondalık kısmında belirli bir rakam veya rakam grubunun sürekli tekrar etmesine devirli ondalık gösterim denir. Tekrar eden kısım üzerine bir çizgi (şapka) konularak gösterilir.

• $2/3 = 0.666...$ $\implies 0.\overline{6}$
• $13/6 = 2.1666...$ $\implies 2.1\overline{6}$
• $32/9 = 3.555...$ $\implies 3.\overline{5}$
• $77/6 = 12.8333...$ $\implies 12.8\overline{3}$

6.1. Devirli Ondalık Gösterimi Rasyonel Sayıya Çevirme

Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirmek için belirli bir formül kullanılır:

$$ Rasyonel Sayı = \frac{Sayının \ Tamamı - Devretmeyen \ Kısım}{Virgülden \ Sonra \ Devreden \ Kadar \ 9, \ Devretmeyen \ Kadar \ 0} $$

• $0.\overline{7}$ devirli sayısını rasyonel sayıya çevirelim:
• Sayının tamamı: 7
• Devretmeyen kısım: 0
• Virgülden sonra devreden kadar 9: (bir tane devreden var) 9
• Virgülden sonra devretmeyen kadar 0: (virgülden sonra devretmeyen yok) 0
• Sonuç: $(7 - 0) / 9 = 7/9$.

• $0.5\overline{1}$ devirli sayısını rasyonel sayıya çevirelim:
• Sayının tamamı: 51
• Devretmeyen kısım: 5
• Virgülden sonra devreden kadar 9: (bir tane devreden var) 9
• Virgülden sonra devretmeyen kadar 0: (bir tane devretmeyen var: 5) 0
• Sonuç: $(51 - 5) / 90 = 46/90$. (Sadeleştirilebilir: 23/45).

• $1.\overline{3}$ devirli sayısını rasyonel sayıya çevirelim:
• Sayının tamamı: 13
• Devretmeyen kısım: 1
• Virgülden sonra devreden kadar 9: (bir tane devreden var) 9
• Virgülden sonra devretmeyen kadar 0: (virgülden sonra devretmeyen yok) 0
• Sonuç: $(13 - 1) / 9 = 12/9$. (Sadeleştirilebilir: 4/3).

• $2.4\overline{5}$ devirli sayısını rasyonel sayıya çevirelim:
• Sayının tamamı: 245
• Devretmeyen kısım: 24
• Virgülden sonra devreden kadar 9: (bir tane devreden var) 9
• Virgülden sonra devretmeyen kadar 0: (bir tane devretmeyen var: 4) 0
• Sonuç: $(245 - 24) / 90 = 221/90$.

Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirme formülünü uygularken, sayının tamamını ve devretmeyen kısmı alırken virgülü yok sayın. Sadece paydadaki 9 ve 0 sayıları virgülden sonraki devreden ve devretmeyen basamaklara göre belirlenir.