Tam Sayılar Detaylı Notları
Bu not, tam sayılar konusunu baştan sona anlamanız için hazırlanmıştır. Videodaki tüm önemli noktaları ve detayları içermektedir.
---
1. Rakamlar ve Doğal Sayılar (Hatırlatma)
Konuya başlamadan önce temel kavramları hatırlamak önemlidir:
- Rakamlar: Sayıları yazmak için kullandığımız sembollerdir. Toplamda 10 tane rakam vardır.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Rakamlar ile sayıları karıştırmak. Örneğin, 256 bir sayıdır, ancak 2, 5 ve 6 rakamlardır. 10 bir sayı iken, rakam değildir.
- Doğal Sayılar (N): Sıfırdan başlayıp sonsuza kadar giden pozitif tam sayılardır. Kümesi N harfi ile gösterilir (Natural Numbers - Doğal Sayılar).
0, 1, 2, 3, 4, 5, ... (sonsuza kadar devam eder).
Doğal sayılar, sayı doğrusunun sadece sağ tarafında yer alan ve sıfırı da içeren sayılardır.
2. Tam Sayılar (Z)
Tam sayılar, doğal sayıların yanı sıra negatif sayıları da içeren, sıfırı, pozitif tam sayıları ve negatif tam sayıları kapsayan sayılardır. Kümesi Z harfi ile gösterilir (İngilizcede "integers" olup, Almanca "Zahlen" kelimesinden türemiştir).
- Tam Sayıların Kullanım Alanları: Tam sayılar hayatımızın birçok alanında karşımıza çıkar:
- Sıcaklık: Hava sıcaklığı +30 derece veya -5 derece olabilir.
- Yükseklik/Derinlik: Uçağın yerden yüksekliği +1500 metre, denizaltının deniz seviyesinin altındaki derinliği -100 metre olabilir.
- Katlar: Apartmanlarda zemin kat 0, üst katlar (+1, +2), bodrum katlar (-1, -2) ile gösterilir.
- Borç/Alacak: 15 TL borç -15 olarak, 20 TL alacak +20 olarak ifade edilebilir.
- Deniz Seviyesi: Deniz seviyesi 0 kabul edilir. Üstü pozitif (+300m), altı negatif (-100m) değerler alır.
- Pozitif Tam Sayılar (Z+): Sıfırın sağındaki sayılardır (1, 2, 3, ...). Bir sayının pozitif olduğunu göstermek için başına '+' işareti konulabilir, ancak genellikle konulmaz. İşaret yazılmayan bir sayı pozitif kabul edilir.
+5, 8, 120. (Hepsi pozitiftir.)
- Negatif Tam Sayılar (Z-): Sıfırın solundaki sayılardır (-1, -2, -3, ...). Negatif sayıların başına mutlaka '-' işareti konulur.
-2, -10, -500. (Hepsi negatiftir.)
- Sıfır (0): Sıfır bir tam sayıdır. Ancak ne pozitif ne de negatiftir. İşareti yoktur. Sayı doğrusunun başlangıç noktasıdır.
- Tam Sayılar Kümesi: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
3. Tam Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme ve Sıralama
Tam sayılar, sayı doğrusunda kolayca gösterilebilir ve sıralanabilir.
- Sayı Doğrusu: Ortasında 0'ın bulunduğu, sağa doğru pozitif sayıların, sola doğru negatif sayıların ilerlediği bir doğrudur.
- Sıfırdan uzaklaştıkça, pozitif yönde sayılar büyür (1 < 2 < 3).
- Sıfırdan uzaklaştıkça, negatif yönde sayılar küçülür (-1 > -2 > -3).
1. Pozitif sayılar her zaman negatif sayılardan büyüktür.
4 mü büyüktür, -6 mı? Cevap: 4. Çünkü pozitif sayılar her zaman negatif sayılardan büyüktür.
2. Sıfır, tüm negatif sayılardan büyüktür.
0 mı büyüktür, -1 mi? Cevap: 0. Çünkü 0, sayı doğrusunda -1'in sağındadır.
3. İki pozitif sayı karşılaştırılırken, sayı değeri büyük olan daha büyüktür.
3 mü büyüktür, 2 mi? Cevap: 3.
4. İki negatif sayı karşılaştırılırken, sıfıra daha yakın olan (yani sayı değeri küçük olan) daha büyüktür.
-1 mi büyüktür, -2 mi? Cevap: -1. Çünkü -1, sayı doğrusunda -2'nin sağındadır ve sıfıra daha yakındır.
Negatif sayıları borç gibi düşünebilirsiniz. -5 TL borç, -7 TL borçtan daha iyidir (daha büyüktür).
- "Arasında" ve "e kadar" Kıyaslaması:
- "X ile Y arasında": Verilen X ve Y sayıları sıralamaya dahil edilmez, sadece aralarındaki sayılar sayılır.
-5 ile +4 arasında kaç tane tam sayı vardır?
Sayı doğrusunda -5 ve +4'ü dahil etmeden aralarına bakarız: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Toplam 8 tane tam sayı vardır.
- "X'ten Y'ye kadar": Verilen X ve Y sayıları sıralamaya dahil edilir.
-3'ten +5'e kadar kaç tane tam sayı vardır?
Sayı doğrusunda -3 ve +5 dahil olmak üzere: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Toplam 9 tane tam sayı vardır.
"Arasında" ve "e kadar" ifadelerini karıştırmak. Bu, tam sayı sayımında sıkça yapılan bir hatadır. Her zaman verilen aralığın uç noktalarını dikkatlice değerlendirin.
4. Mutlak Değer
Bir tam sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığını ifade eder.
- Gösterimi: Mutlak değer, sayının etrafına iki dikey çizgi konularak gösterilir. Örneğin, 'x' sayısının mutlak değeri `|x|` olarak yazılır.
- Kural: Mutlak değer her zaman pozitif veya sıfırdır. Uzaklık hiçbir zaman negatif olamaz.
- Pozitif sayıların mutlak değeri yine kendisidir.
- Negatif sayıların mutlak değeri, işaretinin pozitife dönüştürülmüş halidir.
- Sıfırın mutlak değeri sıfırdır.
- `|-2| = 2` (Çünkü -2'nin 0'a uzaklığı 2 birimdir.)
- `|7| = 7` (Çünkü 7'nin 0'a uzaklığı 7 birimdir.)
- `|0| = 0` (Çünkü 0'ın 0'a uzaklığı 0 birimdir.)
- `|-100| = 100`
- `|+5| = 5`
Mutlak değeri, bir sayının "negatif paltosunu çıkarması" gibi düşünebilirsiniz. İçeride eksi de olsa, dışarıya her zaman pozitif olarak çıkar (veya 0 olarak).
Negatif bir sayının mutlak değerini negatif olarak almak. Örneğin, `|-5|` in `-5` olduğunu düşünmek yanlıştır. Doğrusu `|-5| = 5` tir.
5. Özet ve Uygulama Soruları
Konuyu pekiştirmek için aşağıdaki maddelere dikkat edelim:
- En büyük negatif tam sayı → -1 (Çünkü sıfıra en yakın negatif sayıdır.)
- En küçük iki basamaklı tam sayı → -99 (Negatiflerde en küçük, sayı doğrusunda en solda olandır.)
- En büyük iki basamaklı tam sayı → +99.
- İki basamaklı en büyük negatif tam sayı → -10 (Çünkü -1'den sonraki ilk iki basamaklı negatif sayıdır ve sıfıra en yakın iki basamaklı negatif sayıdır.)
- Sıralama ve Mutlak Değer Uygulaması:
- Verilen sayılar: `|-3|, -9, |+4|, 0, 2, -1, -7`.
- İlk olarak mutlak değerleri hesaplayalım: `3, -9, 4, 0, 2, -1, -7`.
- Şimdi bu sayıları küçükten büyüğe sıralayalım:
- En küçük negatif sayılar: -9, -7, -1
- Sıfır: 0
- Pozitif sayılar: 2, 3, 4
- Sıralanmış hali: -9 < -7 < -1 < 0 < 2 < 3 < 4
- Bu sıralamada ortada kalan sayı 0'dır (7 sayı için 4. sıradaki sayı). (Not: Videoda bu soruya ek olarak +9 sayısı vardı, bu durumda listede 9 da bulunur ve ortadaki sayı 2 olur.) Sayıların mutlak değerleri hesaplandıktan sonraki listede -9, -7, -1, 0, 2, 3, 4, 9 mevcuttur. Küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki sayı 2'dir.
- Yeni Nesil Sorulara Yaklaşım:
- Mesela: Serkan -2 sayısını söylediğinde, Tuğçe Serkan'ın söylediği sayının 7 birim uzağında bir sayı söylüyor.
- -2 sayısından 7 birim uzaklık ne demektir? Hem sağa hem de sola doğru 7 birim.
- Sağa doğru 7 birim: -2 + 7 = 5
- Sola doğru 7 birim: -2 - 7 = -9
- Tuğçe'nin söyleyebileceği sayılar 5 ve -9'dur.
---